4 Severin Johansson. 



wo Yxi^o) ^^'^ Vzizo) reelle, positive Konstanten sind, und E^{x — x^) und ^^ (2 — ^o) harmo- 

 nische Funktionen, die mit x — x^ und z — z,^ verschwinden. 



Unter diesen Voraussetzungen kann rnan folgendes beweisen. 



l:o. Jedem innerhalb der Kurve 



O^ {x, ajo) = A 



liegenden Punkt x entspricht vermöge der Funktion z = f{x) ein Punkt z, der innerhalb der 

 Kurve 



hegt; A ist eine beliebige positive Zahl. 



Dieser Satz kann auch so ausgedrückt werden, dass wir sagen: die Funktion z = f{x) 

 giebt in der «■■Ebene ein Abbild des von der Kurve 0^{x,Xa) = X begrenzten Gebietes, 

 welches den ausserhalb der Kurve G^(z, Zo) = l hegenden Teil 'der ^-Ebene unbedeckt lässt. 



2:o. Wenn für einen Wert von A ein Punkt der Kurve 



6^{x,Xo) = X 

 auf einen Punkt der Kurve 



G^ {z, z^ = l 



durch Vermittelung der Funktion z — f{x) abgebildet wird, so entsprechen diese Kurven ein- 

 ander Punkt für Punkt für jeden Wert von L Die Funktion z^f{x) gibt dann die kon- 

 forme Abbildung von X auf Z. Umgekehrt gilt ja, dass wenn f{x} die konforme Abbildung 

 X auf -^ besorgt, die obigen Kurven einander Punkt für Punkt für jeden Wert von / ent- 

 sprechen. 



3:0. Schliesslich hat man die Beziehung 



WO das Gleichheitszeichen nur in dem Falle gilt, wo f{x) das Gebiet' A'' konform auf Z ab- 

 bildet. 



3. Mit Hilfe dieses allgemeinen Prinzips hat Herr Lindelöf unter anderen folgenden 

 Satz bewiesen: ') 



Wenn die Funktion 



f{x) — ao + a, x-{ 



innerhalb des Kreises \x ,<CB regulär und von Null verschieden ist und wenn ihr absoluter Be- 

 trag unterhalb einer endlichen Grenze M liegt, so gelten für alle Punkte x innerhalb dieses Krei- 

 ses die Ungleichungen 



(1)2) |^r^^<|/>)|<|:^|^^'^ 



I «0 I "" I «0 I "1 «0 I 



■) 1. c. S. 17. 



-) Diese Ungleichungen (I) lassen sich übrigens mit Benutzung des' Harnaek'schen Prinzips sehr ein- 

 fach beweisen. Weil nämlich die Funktion f(x) für x\<R nicht verschwindet, so ist das Potential 



Tom. XL. ' 



