1. In einer neuerdings erschienenen Abhandlung: Mémoire sur certaines inégalités dans 

 la théorie des fonctions monogenes, et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le 

 voisinage d'un point singulier essentiel (Acta Societatis Scientiarmn Fennicœ, Tom. XXXV N:o 7) 

 hat Herr Ernst Lindelöf ein allgemeines fimktionentheoretisches Prinzip aufgestellt, mit 

 welchem er gewisse fundamentale Ungleichungen und Satze ableitet. 



In der vorliegenden Abhandlung werde ich mit Hilfe der Lindelöf' sehen Ungleichungen 

 einige in der neusten Entwicklung der konformen Abbildung auftretende Sätze von grosser 

 Bedeutung beweisen. 



2. Wenn wir uns auf Anschauungen beschränken, welche für die folgende Unter- 

 suchung ausreichen, kann das allgemeine Prinzip des Herrn Lindelöf folgendermassen aus- 

 gedrückt werden; für die weiteren Ausführungen und Beweise verweise ich auf die Abhand- 

 lung von Herrn Lindelöf. 



Wir betrachten in zwei komplexen Ebenen, der ic-Ebene und der ^-Ebene, zwei einfach 

 zusammenhängende, einfach bedeckte Bereiche X unà Z, welche den unendlich fernen Punkt 

 im Inneren nicht enthalten. 



Weiter betrachten wir eine Funktion 



^ = /(.x), 



welche innerhalb X regulär und eindeutig ist, und die weiter so beschaffen ist, dass jedesmal 

 wenn x im Inneren von X gewählt ist, der entsprechende ^■-Wert im Inneren von Z liegt. 

 Das können wir anschauhch so aussprechen: das von der Funktion z — f{x) über die ^■-Ebene 

 ausgeworfene im allgemeinen mehrblättrige Bild von X lässt alle ausserhalb Z liegenden 

 Punkte der ^-Ebene unbedeckt. 



Xf, sei ein beliebiger Punkt von X Aus der obigen Voraussetzung ist klar, dass die- 

 sem Punkt «0 ein einziger innerhalb von Z liegender ^^-Wert Zq entspricht. 



Mit O^ {x, Xq) sei bezeichnet diejenige Green'sche Funktion des Bereiches X, welche 

 ihren Pol in a^o hat, mit .0^(2, ^'o) die analoge Funktion des Bereiches Z, deren Pol in Zo 

 liegt. In der Umgebung von Xo und z^ haben diese Funktionen die Entwickel ungen 



Q^ {X, X,) = log ^^^ + ^A- (^ - ^o) 

 G, {z, z,) = log ^"^-| +H^{z- ^„), 



