Zur Theorie der Uniformisierung Riemann" scher Flächen. 

 und also 



woraus erhellt, dass die Grenzfunktion reguläre normale Ableitungen längs K^ hat. 

 Nach dem Satz I ist nun 



-— Z7 (^ff = log — • „ - -^— da 



2 st r, J^._ *= ro 2si J dv 



und 



U da = log ' • ,-' da. 



1 r .. . r, { \ c àU i r dU I 



— ([/ - U) da = log ' ^ J7 '^'^ - o , '^'^ • 



I- '-1 J^_ "' ^ r^ \2st J^.^ a y 2 st J d v | 



Folglich ist 



dU ^ c ÔU 



Hier ist 



Z7-[7„>0 



auf der Kreislinie K^. Ist s beliebig, so können wir Mq so gross wählen, dass für n>nf, auf 

 der ganzen Kreislinie K^ 



^-f7„<6-log^. 

 Dann ist 



und also 

 (11) 



1 f (^f/ , ,. 1 r ^^"^ 



^— - -p- fZ(7 = hm r:r— \ - (^(7. 



2 .T J d r „ = 30 2 .T J d >' 



Der Satz III ist hiermit vollständig bewiesen. 



Die Potentiale ?7,, w„, f7=liraf/, und Mr=limw,_. 



5. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zur Lösung unseres Problems. 



Es sei also F eine ganz beliebige einfach zusammenhängende Riemann'sche Fläche. 

 Es gilt zu zeigen, dass man diese Fläche F entweder auf das Innere eines Kreises oder auf die 

 ganze einfach bedeckte Ebene mit Ausschluss eines einzigen Punktes konform abbilden kann. 



Wir wählen in irgend einem Blatte eine Windungspunktsfreie Kreisfläche K' mit dem 

 Radius r' und ziehen die mit dieser konzentrischen Kreise Kç, und K^ mit den Radien 



'-0 < ''i < r'; 



auf der Peripherie von K^ fixieren wir einen Punkt P. 



N:o 2. 



