Zur Theorie der Uniformisierting Biemann'schcr Flächen. 9 



für alle Werte von ?i. Weil dieser Integralwert unterhalb der endlichen Grenze 1 liegt, so 

 können wir nach dem Satze III folgern, dass die Reihe der Funktionen U, gegen eine Grenz- 

 funktion 



U = hm U„ 



konvergiert. Präziser kann das so gefolgert werden: wir ziehen den mit A'o konzentrischen 

 Kreis K2 mit dem Radius /-2 



ro < '*2 < ^1 ; 



dann sind im Kreisringe (A"» Ä'2) alle U^^ regulär und wir können auf diesen Kreisring unseren 



Satz III anwenden; aus der Konvergenz in (Ao Ä'.^) folgt dann die Konvergenz überhaupt. 



Die Grenzfunktion 



U = liin U^ 



verschwindet auf K^, wird in P unendlich gross wie 



und ist sonst auf der Fläche F' regulär, eindeutig und positiv. Es ist 

 T- j dir— hm ^- -.— da. 

 7. Weil 



■ i r ^u 



^ 'ir^dG< 1 

 2 .1- J fJ »' 



ist, so können wir schliessen, dass 



Difese beide Möglichkeiten wollen wir als zwei Fälle unterscheiden, die wir den hijper- 

 bolischen und den parabolischen Fall nennen. Es ist 



im hyperboUachen Fall ^ — Tî"^"^'^ -^' 



im parabolischen Fall rr \ ^'dß=l. 



Unsere oben formulierte Aufgabe können wir nunmehr insoweit präziser ausdrücken, 

 dass wir sagen : Wir wollen zeigen, dass man die Fläche F' im hyperbolische^, Fall auf einen 

 Kreisring, im parabolischen Fall auf eine mit einem PunJcie punJctierte Kreisfläche schlicht ab- 

 bilden kann. 



