[O Sevebin Johansson. 



8. Zu den Potentialen Z7, schliessen wir eine neue Reiiie Potentiale 



an. Es ist dabei «^^ eine im Gebiete {K^ LJ reguläre und eindeutige Funktion, die auf K^ 

 verschwindet und längs L„ den "Wert eins annimmt. 



Auf der Linie L^ ist «„.j kleiner als eins. Also ist w„ — ^n + i ^^^^ ^^^^ Rande 

 von (K^LJ in keinem Punkte negativ und folglich 



^\, > "„ + 1 



im Innern von (A', LJ. Die Potentiale o)^ bilden folglich eine abnehmende Reihe, die dann 

 gegen eine nicht konstante Grenzfunktion oder aber gegen die Konstante Null konvergieren 

 kann. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht wegen des Verschwindens sämtlicher w„ auf K,,. 

 Übrigens ist klar, dass wenn der Wert von w„ in einem einzigen Punkte unbegrenzt gegen 

 Null abnimmt, so ist 



lim w^^ ^ . 



Wenn dagegen der Wert von w^ in einem einzigen Punkt oberhalb einer von Null verschiede- 

 nen Grösse bei wachsendem n verbleibt, so ist 



lim w„ = w 



eine nicht identisch verschwindende, nicht konstante Potentialfunktion, die auf Ko verschwin- 

 det. Dabei ist 



r— -^r— da = hm ^r— \ . - «^ 

 Ist J _ dv „ = 00 2st J d v 



Wir wollen über diese Möglichkeiten Klarheit gewinnen, indem wir den Wert von w„ 

 im Punkt P 



«„ (P) 



berechnen. Diese Berechnung stellt die obige Frage in einfacher Beziehung zu unseren bei- 

 den Fällen. 



Desshalb wenden wir die Green'sche Integralformel an auf die Funktionen 1 — w„ und 

 U^ für das Gebiet (K^LJ. Wir erhalten 



wo die Integration über die volle Begrenzung von {K^LJ zu erstrecken ist. 



