14 Severin Johansson. 



Die Punktionen ^„ und z = lim z^. Die konforme Abbildung. 



10. Wenn wir die konjugierten Potentiale durch Accentuierung der Buchstaben be- 

 zeichnen, so ist 



w; = u,; + C «,/. 



Im hyperbolischen Fall ist 



(28) W' = U' -\-C «', 

 und im parabolischen Fall 



(29) W = U'. 



Wenn wir diese Potentiale noch so normieren, dass sie alle z. B. in demselben Punkte 

 verschwinden, so ist 



lim tf; = W. 



Weil 



r dW 



J . V ' 



so verändert sich TF/ bei Durchwanderung von K^ um 2.t. Da nun auch 



r^j^..=2. 



J Ö V 



A'o 



SO gilt dasselbe von W. 

 Die Gleichung 



r öw 



-.— da=:[) 

 J dv 



zeigt uns, dass TT^ bei Durchwanderung von L^ in sich übergeht. 



11. Nunmehr setzen wir 



(30) 



_ - (w+ i yv) 



Dabei ist also 



lim z„ = z. 



Da nach der obigen Überlegung bei Umläufen in {K^LJ WJ nur additiv um Multipeln von 

 2^ geändert wird, so bleibt bei diesen Umläufen z^ ungeändert. Also: 



Die Funktion z^ ist eine eindeutige Funktion im Gebiete {KqLJ, irelche im Punkte P 

 verschwindet und nur in diesem Punkte. Auf Kq ist 



