Zur Theorie der Uniformmerung Riemann' scher Flüchen. 15 



wid auf L^_ 



\z„\=e ». 



In gleicher "Weise lässt sich von der Funktion z aussagen: 



Die Funktion z ist eine eindeutige FimTction im Gebiete F', welche im Punkte V und in 

 keinem anderen regulären Punkte von F' verschwindet. Auf Kg ist 



\z\ = l. 

 Im hypcrholischen Falle ist 



-(U-^C(o + i(D' + Ca}')) 



(31) z = e 

 während im paraholischen Falle einfach wird 



-(U+iV) 



(32) 2 = e 



12. Unsere Hauptaufgabe wollen wir jetzt so ausdrücken: wir wollen zeigen, dass die 

 hiermit gewonnene Funktion z im hyperbolischen Fall die Fläche F' auf das schlichte Innere des 

 Einheitskreises mit Ausnahme eines Bogens auf der Peripherie des Kreises mit dem Radius e-^ 

 abbildet, nährend im parabolischen Fall z die Fläche F' auf das schlichte Innere des Einheits- 

 kreises mit Ausnahme eines einzigen Punktes abbildet. 



Um dieses zu beweisen, wollen wir zuerst die durch ^, vermittelte konforme Abbil- 

 dung von {Kg LJ näher betrachten. 



Bei dieser Abbildung geht Ä^'o in die Peripherie des Einheitskreises über. Die Linie 

 L^ wird auf einen Schlitz abgebildet, welcher auf der Peripherie des Kreises mit dem Radius 

 e~^" liegt. Die Länge dieses Schlitzes sei s,; dann ist 



2s. < 



J \^„'\d^- 



Weil auf L„ 





und also 



(33) 2s„^e ^"1 \-^\à^- 



Nun ist auf L^^ 



1 d V \ dv " d V \ "" \ d V \ " \ dv \ dv " d v 



