16 Severin Johansson. 



und also 



2s<e~^"H -^da-C A ^ da \ = e "^" \ 2:t - \ " da + C \ -^ da \ = 



^^L ' " ^L '^ '' J I ^K, ' " ' /.-. '' ' 



= e ^" • 2 .T 1 - ^' "dG+ C • -/- y" da = 



= e~^"-2sr { w,_ (P) + ûj^_ (P) ] = i^r e~'^" «„ (P). 

 Folglich ist 

 (34) 5„< 2^e~*^" «JP). 



Die vollständige Begrenzung des Abbildes von (Kg LJ in der ^'„-Ebene besteht also aus der 

 Peripherie des Einheitskreises und einem Stücke der Peripherie des Kreises mit dem Radius 

 e~^" von der Länge 



s„ < 2 ar e~ ^" • «„ (P)< 2 sr e~ ^" . 



Da 2;,, nur einmal in (Ä'o LJ verschwindet, so wird der Nullpunkt der ^„-Ebene nur 

 einfach von dem Abbilde bedeckt. Aus der obigen Überlegung folgt dann unmittelbar, dass 

 das ganze Abbild jeden Punkt, den es enthält, einmal bedeckt. 



Also: 



Die Funktion z^ bildet das Gebiet {K^ LJ ah auf das schlichte Innere des Einhctslreises 

 der z -Ebene mit Ausnahme eines Bogens von der Länge 



13. Aus diesem Umstände kann unmittelbar geschlossen werden, dass die Funktion 

 z das Gebiet F' auf ein schlichtes, ganz im Innern des Einheitskreises liegendes, zweifach 

 zusammenhängendes Flächenstück abbildet, dessen eine Begrenzungslinie mit der Peripherie 

 dieses Kreises zusammenfällt. 



Ist nämhch A eine beliebige Zahl, C eine beliebige geschlossene Kurve innerhalb F' 

 und «0 eine so grosse Zahl, dass C im Innern von (^0 -^„ ) liegt, so ist für alle n > «o 



J' dz 

 ^ = oder 2 i sr. 



Diese Beziehung sagt nämlich aus, dass z^ innerhalb C den "Wert A höchstens einmal annimmt. 

 Aus dieser Beziehung folgt 



2 — A 



:^ U oder 2 i st. 



