Zur Theorie der Uniformis'icrung Riemann' scher Flächen. 17 



Die Funktion z nimmt also jeden Wert höchstens einmal an und gibt folglich eine "einmal 

 bedeckte Abbildung von F'. 



Weiter ist [ ^ =1 auf K^ während \z\<^l für alle übrigen Punkte von F\ womit 

 also unsere Behauptung bewiesen ist. 



Wir wollen die innerhalb, des Einheitskreises auftretende Begrenzungsmannigfaltigkeit 

 unseres Abbildes </*' näher nntersuchen. 



Unsere Kurven L_ werden auf geschlossene Kurven A, innerhalb des Einheitskreises 

 abgebildet; die Kurve /„ und die Peripherie des Einheitskreises begrenzen vollständig ein 

 zweifach zusammenhängendes Gebiet, welches das Abbild von {K^LJ ist; dieses AbbiUl wollen 

 wir (xo Å.J nennen. Dann ist («o ^„) ein Teil von (zq ^„ + 1) und es ist 



lim (xp ^J = <!>'. 



Es seien nun j5„ und r„ die grösste und kleinste Entfernung der Kurve A,, von dem 

 Nullpunkte der ^•-Ebene. Dann ist 



-Ri > -^2 > — 



und 



'•i < '-2 < ■ • • 



Folglich nähern sich sowohl R^^ wie r, mit wachsendem n bestimmten Grenzwerten 



R^ hm Ä^, r= lim »■„; 



dabei ist R> r. 



Wir ivollen heneisen, dass R =: r. 



14. Diesen Beweis führen wir indirekt. Wir nehmen also an, dass R > r und wollen 

 daraus einen Widerspruch ableiten. Wir setzen 



R + r 



so dass .ff > e > r, und ziehen mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt die Kreise mit den 

 Radien R, q und r und sämtliche Kreise mit den Radien R^^ und »;_. Diese Kreislinien nen- 

 nen wir (R), (q). (r), {RJ und (rj. 



{RJ und A^_ haben mindestens einen Punkt Q„ gemeinsam. Die Punkte Ç„ haben 

 mindestens eine Häufungsstelle Q, die dann auf der Kreishnie (R) hegt. 



In genau gleicher Weise bezeichnen wir mit q^ einen der gemeinsamen Punkte von 

 (rj und A,, und mit q eine der Häufungsstellen der Punkte q^. Dann liegt q auf der Kreis- 

 linie (r). 



Auch (q) und -^„ haben mindestens einen Punkt (sogar zwei) //^ gemeinsam; unter den 

 Häufungsstellen von n wählen wir eine // aus. Es liegt dann // auf (q). 



Es seien nun T, t und 6 die Argumente der Punkte Q, q und U. Dann haben wir 



in den Punkten 



Ti ei li 



Re , Q e , r e 



