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(Iroi bestimmte von einander verschiedene Punkte im Innern des Einlieitsi5:reisos der ^■-Ebene; 

 weiter fällt keiner dieser Punkte mit dem Nullpunkte zusammen. 

 Von diesen Pinikten ^'ilt nun der Satz: 



Die Piml-te h' e ', q r ' und re' liegen in Iceincm der Berciclie [xo^J und gehören also 

 '/'' nicht (in. 



Würde nämlich z. \'>. Q - He ' im Inneren von («o ''■„„) liegen, so sei r^ der kleinste 

 Abstand zwischen Q und der Kurve >l„^. Dann ist für alle Werte von v 



Weil nun a,l)er Q eine der Häufungsstellen der Punkte Q^ ist, künn(;n wir einen sol- 

 chen Wert f'i, von v boslinnnen, dass 



Aus diesem Widerspruch schliessen wir, dass Q in keinem der Bereiche (xj Aj liegen kann. 

 In genau gleicher Weise beweist man dasselbe von g und //. 



1.5. Nunmehr betrachten wir die Schwarz'sche .9-Funktion 



Mil .-fle" pc^'-r/\ 

 (35) s = s , , — ; TT ' oi Ti 



als Funktion in der r-Kbeiuï. in dieser Ebene ist die Funktion *• unendlich vieldeutig, aber 

 ihre Windungspunkte liegen grade in den Punkten 



Ee ', Q e , re . 



Da diese Puid<te keinem unserer Bereiche (x„ AJ angehöi-en, so ist also s ohne Windungs- 

 piudvte in unserem Abbilde 0'. 



Fügen wir zu unserem Abbilde das Äussere des Einheitskreises zu, so bildet jeder 

 Bereich (x„ /J mit diesem Äusseren zusammen ein einfach zusammenhängendes Gebiet. In 

 diesem Gebiet hat dann s keine Windungspunkte und ist also daselbst eindeutig. Folglich ist 

 s auch in ("o^J eindeutig. 



Jetzt wählen wir s so, dass ein Zweig von s grade im Nullpunkte verscliwindet, 

 und breiten die Werte -dieses Zweiges in unserem Abbilde cP' aus; es ist dann dieser Zweig 

 *■ daselbst eine eindeutige Funktion, oder schärfer ausgedrückt: dieser Zweig ist in jedem Be- 

 reich (xo-^J eindeutig. Im Nullpunkte ist ä = 0, sonst ist |s| < 1. 



■ Jetzt setzen wir 

 (S6) C7 = -log|s| 



Tom. XL. 



