Zur Theorie der Uniformisierung Riemann scher Flächen. 

 Wir bekommen folglich 



oder in limes 

 (42) 



^°^"4::=^(^"^)' '''ar""^"^^ 



lim log =^- =: log 4 = lim U (Qn\ = 0, 



(43) 



lim log = log - = lim ü UiA = 0. 



Also wäre R = r=:\, was in Widerspruch mit unserer Annahme R ;> r ist. Folglich ist 

 auch im parabolischen Fall 



jR = r q. e. d. 



In beiden Fällen ist also . 



d. h. die ganze im Innern des Einheitskreises der «-Ebene liegende Begrenzungsmannigfaltig- 

 keit von 0' gehört der Peripherie des Kreises mit dem Radius R — r an. Da diese Begren- 

 zungsmannigfaltigkeit ein einziges Kontinuum bildet, so besteht sie also entweder aus einem 

 Bogen dieser Peripherie oder aus einem einzigen Punkte. 



17. Es bietet nun keine Schwierigkeit dar den Radius R — r zu bestimmen. 



Wenn wir nämlich zu der Riemann'schen Fläche zurückkehren, so beachten wir, dass 



in (K^LJ regulär und eindeutig ist. Diese Funktion hat also ihre Maxima und Minima auf 

 dem Rand vo [K^ L ,). 



Nun verschwindet TF — TF längs Kg. Also ist nach unserem Mittelwertssatze der 

 Mittelwert auf K^ 



2 .T »'i J ^ "' '^ ^0 [ 2 .T J , d r 2 w J^. d r J 



Nun ist aber 





Folglich verschwindet der Klammerausdruck und wir bekommen 



(44) 

 N:o 2. 



1 



2ST', 



J {W—Wjda^O. 



