26 Severin Johansson. 



21. Hiermit ist die auf S. 15 gestellte Aufgabe vollständig erledigt. Beiläufig kön- 

 nen wir noch folgenden aus den obigen Überlegungen ausfallenden Satz über das Verhalten 

 der Funktion U in den beiden Fällen annotieren. 



Wenn wir in dem hyperbolischen Fall nach den Gremelementen der Fläche hinnandern, 

 so sinkt U gegen Null, nährend a dem Wert eins zustrelt, so dass pr=f7-f Cw sich dem Werte 



c- '^(^^ 



1 c dw 



nähert. Im parabolischen Fall dagegen nähert sich U unbegrenzt dem von Null verschiedenen 

 konstanten Wert 



lim 



x_rd, 



wenn wir uns den Grenzelementen der Fläche nähern. ') 



22. Von hier an könnten wir schon die Methode der gürtelförmigen Verschmelzung 

 von Schwarz anwenden und würden zur Abbildung der ganzen Fläche jP= F' + Ko gelangen. 

 "Wir können aber auch zuerst die volle Lösung der auf S. 9 formuherten Aufgabe durchfüh- 

 ren, um dann erst die Methode des Herrn Schwarz heranzuziehen. 



Im hyperbolischen Fall setzen wir 



(49) * 



2:T J. dv ''o 



und bezeichnen mit w' das zu w konjugierte Potential. Weiter setzen wir 



— («. + .•.(.■) 

 (50) «? = e 



Weil nun 



2^ J d 



j/-^ä<r=l, 



so vermehrt sich w' bei Umläufen in F' nur um Multipeln von 2 sr. Also ist rj eine ein- 

 deutige Funktion in der Fläche F'. 



Betrachten wir nun tj als Funktion in der 0-Ebene, so ist also rj in unserem Gebiete 

 0' eine eindeutige reguläre Funktion. Auf der Peripherie des Einhetskreises ist 



l7l = l. 



') Vgl. die Abhandlung: lieber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, zweite Mitteilung von 

 Paul Koebe (Nachricliten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1907). 



Tom. XL. 



