Zur Theorie der Uniformisierung Eiernmtn scher Flächen. 

 und auf dem Besrenzungsschlitz 



\ri\ = e 2-^/^"''\ 



Also bildet i) unsereti Bereich <P', d. h. die Fläche F' ab auf einen schlichten Kreisring der 

 tj-Ebene, tcelcher von dem Einheitshreise und der Peripherie des damit Iconzentrischen Kreises mit 

 dem Radius 



begrenzt ist. 



Im parabolischen Fall sind wir schon darch die obige Überlegung zur Lösung der auf 

 S. 9 formulierten Aufgabe gekommen. Wir können aber auch der Analogie halber den 

 Grenzpunkt in den- Nullpunkt verlegen. Das geschieht durch die Substitution 



Ol 



WO q e der Grenzpunk.t in der g'-Ebene ist. 



T)ie Funktion ri bildet dann unseren Bereich <!>' d. h. die Fläche F' ab auf das schlichte 

 Innere des Einheitslreises der tj-Ebene mit Ausschluss des Mittelpunktes. 



Die gürtelförmige Verschmelzung. 



23. Durch ^Heranziehung der Schwarz'schen Methode der gürtelförmigen Verschmel- 

 zung kann nun nachgewiesen werden, dass man die ganze Fläche 



F=iK^ + F' 



schlicht abbilden kann, wobei dann als Abbild erhalten wird: im hyperbolischen Fall das In- 

 nere des Einheitskreises, und im parabolischen Fall die ganze Ebene mit Ausschluss eines ein- 

 zigen Punktes. 



Bezüglich der Beweiseinzelheiten des Verfahrens verweisen wir auf die S. 1 zitierte 

 Abhandlung des Herrn Schwarz; wir wollen nur den Hauptgedanken anführen. 



Es sei der Mittelpunkt des Kreises K^ auf der Fläche F. Dann ziehen wir mit 

 als Mittelpunkt einen neuen Kreis K, welcher K^ im Innern enthält. Vermöge der zwischen 

 F' und der »?-Ebene bestehenden Abbildungsbeziehung erhalten wir in der »?-Ebene als Abbild 

 der Kreishnie K eine knotenfreie geschlossene Kurve k. Nennen wir die Peripherie des Ein- 

 heitskreises Tcü, so ist das Gebiet (Jcok) das konforme Abbild von {K^K). Diese Gebiete, die 

 also aequivalent sind, stellen den Gürtel des Verschmelzungsprozesses dar. 



