28 Severin Johansson. 



Es gilt nun folgendes zu zeigen: 



Im hyperbolischen Falle gibt es zwei Potentiale Ui und u^ mit folgenden Eigenschaften: 



a) Ui ist in unserem Kreisring in der «y-Ebene regulär und eindeutig und verschwin- 

 det längs der Peripherie des Innern Begrenzungskreises, die den Grenzelementen der Fläche 

 F entspricht. 



b) Mj ist im Gebiete K^ + (A'o K) — K auf der Fläche F eindeutig erklärt und wird 

 im Punkte unendlich gross wie 



1 



log-, 



wo r den Abstand, von bedeutet. 



c) Diejenigen Werte von «2, welche im Gebiete (Gürtel) (KoK) zum Vorschein kom- 

 men, sind identisch mit denjenigen Werten, welche t<i in den entsprechenden Punkten von 

 (koh) annimmt. 



ïm parabolischen Falle gibt es zwei Potentiale Ui und Mj mit folgenden Eigenschaften: 



a) Ml ist innerhalb des Einheitskreises der Tj-Ebene regulär und eindeutig. 



b) Ui ist im Gebiete K„ + (Ka K) = K eindeutig und wird im Punkte unendlich 

 gross wie 



cos (f 



r 



c) "Vgl. oben c). 



Die Herstellung zweier solcher Potentiale wird nun durch den Prozess der gürtelför- 

 migen Verschmelzung vollzogen, wobei dann «i und «2 als Endresultat des alternierenden 

 Verfahrens auftreten. 



24. Pflanzen wir nun die Werte von -«, aus auf die Fläche F' vermöge der zwischen 

 F' und der ij-Ehem früher gewonnenen Abbildungsbeziehung, so sind Ui und U2 aufzufassen 

 als Bestandteile desselben Potentials u, welches dann erklärt ist für die ganze Fläche 

 F=F' + Ko. 



Im hyperbolischen Fall sinken die Werte von u gegen Null, wenn wir uns den Grenz- 

 elementen von F nähern. Ist v das zu u Iconjugierte Potential, so vermittelt die FunTction 



im e-"^'' 



die konforme Abbildung der Fläche F auf das schlichte und iücJcenlose Innere des Einheifsl-reises. 

 Im parabolischen Fall verfügen wir über die in u noch vorkommende willkürliche ad- 

 ditive Konstante, so dass u bei Annäherung an die Grenze von F verschwindet. Ist wiederum 

 V das konjugierte Potential zu u, so normieren wir auch diese Funktion v, so dass v gegen 

 Null abnimmt bei Annäherung an die Grenze von F. Bann vermittelt die FunTction 



(53) i^ 



u -\- IV 



