31 



Ett geometriskt problem. 



(Meddeladt af L. Lindelöf den 27 Jaiinari 1868.) 



Det problem, som vi här företaga till behandling, min- 

 dre för att framhålla den enkla och redan kända lösningen 

 deraf, än för att gifva det en större utsträckning och i sam- 

 manhang dermed utveckla några intressanta relationer, är af 

 följande lydelse: 



Au i en gifven plan-triangel inskrifva en annan triangel 

 med den minsta möjliga perimeter. 



Vi beteckna med A^ B, C, a, b, c vinklarne och sidor- 

 na i den gifna triangeln samt med A', B', C', a', b', c', vink- 

 larne och sidorna i den sökta inskrifna triangeln. Frågan är 

 egentligen den att på de tre räta linierna a, b, c bestämma 

 tre punkter A', B', C, så att summan af de sammanbindande 

 linierna a' -j- fe' -|- c' blifver minimum. 



Antagom för ett ögonblick, att punkterna B' och C re- 

 dan vore kända och att man sökte bestämma läget af punk- 

 ten A' på linien a, så att summan af afstånden A' B' och 

 A'C' eller b' -\- c' blefve minimum. Låter man punkten A' 

 förflytta sig längs linien BC ett oändligt litet stycke rf.*, så 

 erhålla afstånden A'(7 och A'B' derigenom tillvexterna 



ds . cos BA'C och — ds . cos CA'B\ 

 hvilkas summa bör vara noll, för att minimum må ega rum. 

 Deraf följer, att vinklarne BA'C och CA'B' eller de vinklar, 

 som den inskrifna triangelns sidor fe' och c' i punkten A' göra 

 med den gifna triangelns sida a åt hvar sin sida, äro lika 

 stora. Och på samma sätt måste de vinklar vai'a likastora, 

 som i punkterna B' och C" formeras emellan den inre och 

 den yttre triangelns sidor. 



Beteckna vi nu med x hvardera af de likastora vinklar- 

 ne vid i4', med y hvardera af de likastora vinklarne vid B' 

 samt med z hvardera af de likastora vinklarne vid C", så är 



