33 



^-t + 2/ + - = ^5 



B -\- Z -\- X = TT-, 



C -\- X -\- y = TT^ 

 hvaraf A + Z? + C + 2 (.r + y -j- 2) = 3 /r, eller 



X -{- y -\- z = Tt. 

 När denna formel jemföres med de tre föregående, framgår 



X = A^ y =^ B, z = C^ 

 hvaraf följer, att de tre vinklarne i den inskrifna triangeln äro 

 A' = 7t — ^A, B'=7t—2B, C=7t—^C. 

 Då nu sidorna förhålla sig som sinus för de motstående 

 vinklarne, har man alltså 



a b' c' 



sin A cos A sin B cos B sin C cos C 

 Men å andra sidan äfven 



a b c 



sin A sin B sin C 



Genom kombination af dessa formler erhålles 



a' b" c^_ 



a COS A b COS B c cos c ' 



hvarvid förhållandet m tillsvidare är obekant. För att be- 

 stämma detsamma, projicierar jag på B'C' de båda öfriga si- 

 dorna af triangeln ABC, på CA' de båda öfriga sidorna af 

 triangeln BCA' och på A'B' de båda öfriga sidorna af trian- 

 geln CA'B'. Summan af alla dessa projektioner är 

 a' -\- b' -\- c' =^ a cos A-\-h cos B -\- c cos C. 

 När den nästföregående formeln jemföres härmed, finner 

 man m = 1 och följaktligen 



a' =a cos i4, b' = b cos )?, c' = c cos C. 

 Det är nu lätt att beräkna de genom punkterna A', B', C 

 bestämda delarne af den gifna triangelns sidor. Man finner 

 t. ex. 



A' B : ¥ = sin C : sin 5 = c : 6, 

 hvaraf 



A'B= -^ = c cos 5, 



b 



hvilket bevisar, att linien AA' är vinkelrät mot sidan a. De 

 sökta punkterna A\ B\ C äro sålunda ingenting annat än 

 ändfunkterna af den gifna triangelns höjdlinier. 



