33 



Den nu bevista satsen kan äfven omvändas. Om liuier- 

 na AA\ BB', CC äro vinkelräta mot sidorna a, b, c, så be- 

 finna sig punkterna J?' och C på periferin af en cirkel upp- 

 ritad med sidan a såsom diameter och man har följaktligen 

 AB.AC = AC.AB' eller 



AB : AC = AB' : AC\ 

 hvaraf synes, att triangeln AB'C är likformig med triangeln 

 ABC. Detsamma gäller om trianglarne BCA' och CA'B'. 

 Man sluter deraf, att den inskrifna triangelns sidor parvis göra 

 likastora vinklar med sidorna i den gifna triangeln, hvilke 

 åter utgör det nödvändiga och tillräckliga vilkoret för att den 

 inskrifna triangelns perimeter skall vara ett minimum. 



I sammanhang härmed skola vi äfven upplösa det ana- 

 loga problemet: att i en gifven sferisk triangel inskrifva en an- 

 nan sferisk triangel med den minsta möjliga iierimeter. 



Sidorna och vinklarne i de båda trianglarne beteckna vi 

 på samma sätt som i föregående problem. Likasom i den förra 

 händelsen finner man, att vilkoret för minimum äfven nu be- 

 står deruti, att den inskrifna triangelns sidor parvis göra lika- 

 stora vinklar med sidorna af den gifna triangeln. Vi skola 

 bevisa, att detta vilkor uppfjlles, om storcirkelbågarne AA'^ 

 BB'., CC äro vinkelräta mot triangelns sidor a, 6, c. 



För korthetens skull införa vi ytterligare följande be- 

 teckningar: AA' == /, BB' = rn, CC = n, B A' = u, BC = v, 

 vinkeln BA'C = x. Vi erhålla då till en början 

 tång M = tång c cos B, 

 tång v = tång a cos B. 

 Vidare har man emellan de fyra konsekutiva elementerna x^ 

 w, 5, v i triangeln BCA' den kända relationen 



cot X sin B -\- cos B cos u = sin u cot v, 

 hvaraf man med tillhjelp af föregående formler efterhand här- 

 leder 



Sin B cot x= cos u ( — ^ cos B) 



tång v 



= COS u (: — ^ — cos 5) 

 tang« 



(sin c COS a — cos c sin a cos B) 

 sin h cos A. 



sin a cos c 



cos u 

 sin a cos c 



