58 



På, analogt sätt upplösas motsvarande problemer rörande 

 hexaedern, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern. 



6. Den minsta polyeder med gifvet antal sidoytor, som kan 

 omskrifvas omkring en ellipsoid, är så beskaffad, att alla dess si- 

 doytor beröras af ellipsoiden i deras respektiva tyngdpunkter. 



Ett enkelt resonnemang öfvertygar om nödvändigheten 

 af det i propositionen uttalade vilkoret. Ty om tyngdpunk- 

 ten af en sidoyta faller utom tangeringspunkten och man lå- 

 ter ytan vrida sig oändligt litet omkring en genom tyngd- 

 punkten i densamma dragen rät linie, så inses af Guldins 

 teorem, att polyederns volym derigenom ej förändras, ehuru 

 sidoytan i sitt nya läge faller utom ellipsoiden. Om denna 

 yta sedan parallelt med sig sjelf närmas till ellipsoiden, till 

 dess beröringen blifver återställd, så erhålles en ny omskrif- 

 ven polyeder, som är mindre än den gifna, hvilken således 

 ej kan vara ett minimum. 



För öfrigt inses lätt, att det sednast anförda teoremet i 

 allmänhet gäller om polyedrar, som äro omskrifna omkring en 

 konvex och sluten yta, huru beskaffad den må vara i öfrigt. 



Genom ömvändning af de hittills bevista satserna kunna 

 nya resultater 3'tterligare härledas. I sådant afseende fram- 

 ställas här ännu några problemer. 



7. Att finna den minsta ellips, som kan omskrifvas om- 

 kring en gifven triangel. 



Förhållandet emellan ellipsens och triangelns ytor bör 

 vara ett minimum, och detta inträffar, om triangeln å sin 

 sida är en af de största, som i ellipsen kunna inskrifvas, e- 

 medan nämnda förhållande då uppnår sitt absoluta gränsvär- 



de, som är - — - . Sistnämnde vilkor kan alltid realiseras. I 



sjelfva verket kan den gifna triangeln betraktas såsom projek- 

 tion af en viss liksidig triangel och den sökta ellipsen utgör 

 då projektionen af en omkring denna triangel omskrifven cirkel. 

 Häraf framgår, enligt n:o 1, att den gifna triangelns 

 tyngdpunkt bör utgöra medelpunkt till den sökta ellipsen och 



