Sur les démonstrations de deux théorèmes géométriques. 101 



où m et n sont des eiilieis positifs (jnelconques ou ze'io, ne sau- 

 rait être rationnelle que dans les cinq cas suivants 



A/i = 1 m= i^ 7?î = I ;« = 2 I /n = Il 



« = J ' /j = j ' 71=1 y 7^ = j ' « = 1 i ' 



Maintenant les përiniclrcs de deux polygones rej^nlicrs de 

 y côle's, l'uu inscrit et l'autre circonscrit au cercle dont le ravoa 

 est l'unité', s'expriment respectlvetuent par 



îV2(i-c„.s, et 2,y'=ï=pr, 



'J 



ei ces formules sont e'videmment irrationnelles dans tous les cas 

 où l'est Cos-^. Donc, si q est de la forme 



r. 3: 



les périmètres en question ne pourront être rationnels (pie lorsque 

 y aura quelqu'une des valeurs 



1, 2, 3, 4 et 6. 



La substitution de ces valeurs (à l'exception des deux pre- 

 mières, qui ue re'poudeut à aucun polygone) dans les formules ci- 

 dessus fo\unit, pour la premicie, les re'suhats 



3/3^ 4/2", 6, 

 et, pour la seconde, ceux de 



6/3, 8, 4/3"; 



