Sur un point du Calcul Différentiel, 319 



I. 



Soit d'abord la foiiclion eu question continue dans les cir- 

 constances de'ierniinëes ci-dessus pour chacun des trois cas dont 

 il s'agit. 



Une fonction uniforme quelconque de u, qui s'ëvariouit 

 avec u, étant repie'senlée par fu, et sa dérivée par rapport à u 

 l)ar f'u, le quotient 



h 

 ne saurait, d'après un théorème connu, frauchir les limites déter- 

 minées par les valeurs de 



fu 



le plus et le moins avancées vers l'infini positif depuis u = o jus- 

 qu'à u = /i, pourvu que les fonctions y« et f'u restent l'une et 

 l'autre continues pour les valeurs de u comprises entre ces mêmes 

 limites *). Si maintenant on désigne par F'x une fonction uniforme 

 quelconque de x, qui se trouve infinie pour une valeur de x non 

 infinie, réelle et déterminée désignée par a, et qui reste continue 

 quelque près que x approche de «, nous allons d'abord prouver, 

 au moyen du théorème cité, que la dérivée de Fx par rapport 

 à X (^que nous représenterons par F' x) ne saurait prendre, 

 pour x = a, une valeur non infinie, réelle et déterminée. 



Supposons, pour fixer les idées, que a soit positive et que 

 Fx le soit de même pour toute valeur de .v comprise entre a et 

 (jiielque limite moindre que a; et posons d'abord que F x soit 



*) Voir le premier Touie de ces Acles, p. 445. 



