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Je commence [)ar observer que dans ce qui suit il ne sera 

 queslion que de développements à exposants re'els^ et qu'en par- 

 lant des coejficients d'un développement quelconque, je suppose 

 les variables inde'peudantcs contenues dans les termes incomplexes 

 y relatifs constamment positives. 



Soit actuellement 



au" + hii" + eu'' + • • cu^ -^r (pu 

 le développement ascendant d'une fonction uniforme d'une seule 

 variable fu^ qui prenne des valeurs réelles pour toute valeur de u 

 contenue entre les limites o et ?-*)", je vais prouver que, 1. c'tanl 

 positive.) les coefficients du de'veloj)pement pre'ce'deut 



a, b, c, . . e, 

 quel qu'en soit le nombre, seront tous réels, et, X c'tant négative, 

 les termes de la se'rie 



a{-i)T H-i); c{-iY,..e{~îy 



jouiront de la même proj)rie'tc'. 



Posons d'abord ). positive, et conside'rous l'équation 



il s'agit de [)rouver la realite du coefficient a. > 



Soit, s'il est possible, a imaginaire. La fonction 



y« 



*) On obsi.iveia (ju'ici et dans ce qui suit les valeurs d'une variable com- 

 prises entre certaines liiniles ne sont jamais censées passer par i'intini. 



