Sur la théorie du déi/eloppemeJit des fonctions. 349 



qui, d'ajucs la dcTiiiiUou du développement en question *), se 

 change en a ponr n = o, deviendra donc, pour celte valeur de ?<, 

 imaginaire, d'où s'ensuit, par un jirincipe analytique connu**), 

 que la même fonction restera imaginaire pour quelque valeur de 

 u positive et moindre que ?., laquelle je de'signerai par u'. Or fit 

 se trouve re'elle par l'hypotlicse, et u"" l'est de même parce que 

 lî est positive et m rc'el, d'où rc'snite que l'esjiression 



u"" 



sera aussi re'elle: resultat contraire au pre'ce'deut. Donc a ne sau- 

 rait cire, dans l'Iiypotlicse actuelle relative à ?., imaginaire. 



La re'alite' de a prouvée, celle des autres coefficients 



&, c,..e 



en resuite imme'dialement. Car, si l'on pose 



/« — au"'=fu, 

 on aura évidemment 



fu = hu" -\-(f,u, 



où hu" est le premier terme du développement ascendant de f\tt. 

 par rapport à u. Or la fonction J\u joiùt, ainsi que Ju, de la 

 proprie'te de rester réelle pour des v:ilcurs quelconques de ii com- 

 prises entre o et À, puisque le coefficient a a e'ie' prouve' réel. 

 Donc la de'moostration précédente relative à l'équation 



fu ■= au"' + (pji 

 s'appli()uera également à celle de 



♦) Voir le premier Tome de ces Aiies, p. 42+. 

 ♦♦) L. c p. 429, princ. 3). 



