Sur la Ûieorie du dci-'eloppement des fonctions: 351 



/(- v) = a{- Vf + K- ^'Y +'■<- vy + 9(- v), 

 c'est-à-dire 

 /(- v) = a(- 1)'" ir + b{- 1)«. v" + .. ei-iy. v^ + 9(- v) • • 1), 



pour loiilc valeur de v, que 



<r[- «0 , 



ou 



'^ ^ ' = o, 



pour v — o; d"oii s'ensuit que le second membre de l'e'qualion j) 

 constitue encore le développement ascendant du premier. 



Or la fonction fu prenant, par l'hypothèse, des valeurs 

 réelles pour toute valeur de u comprise entre les limites o et — u, 

 celle de y( — v) en prendra e'videmment aussi pour des valeurs de 

 V quelconques comprises entre o et /t. 



Donc, en vertu du premier cas de ce théorème, les, coeffi- 

 cients 



«(-1),- h{^-\y,..e{-\y 



seront actuellement tous re'els; ce qu'il fallait prouver. 



Posons maintenant 



««"" + Ä"' "}- • • f «' + y" 

 le développement descendant de la fonction fu, dont les valeurs 

 soient reelles pour toutes les valeurs de u contenues entre les li- 

 mites ± CD et X, le signe de co étant le racine que celui de Xj il 



