Su7- la théorie du développement des fondions. 353 



pour louie valeur de v conjprise entre o et y 



Donc, en vertu du ihe'orème prouve ci-dessus pour des de'- 

 velopj)emcnts asceudaiils, les coeflicieiUs 

 n, bj . . e 

 seront actuellement tous réels si X est positive, et 



«(-1);» /.(_1),"...(_1); 

 e seront de nièinc si celte limite est négative. 



Des deux théorèmes aunlylifpies que nous venons de prou- 

 ver résultent les conséquences suivantes, qui ne paraissent j)as avoir 

 été établies jusqu'ici d'une manière rigoureuse et générale: 



l:o Si une fonction uniforme d'une seule variable se trouve 

 réelle pour toutes les valeurs de sa variable comprises entre deux 

 limites déterminées de signes différents, ou bien non comprises 

 entre deux telles limites *), les coefllcienls de son dévelop[)ement 

 par ra[)])ort à celte variable, dans le premier cas ascendant, dans 

 le second descendant, seront tous réels, soit qu'on regarde la va- 

 riable en question comme positive, soit qu'on en ciiange le signe. 



2:o Si, dans le développement ascendant ou descendant 

 d'une fonction uniforme d'une seule variable, quelque coefficient 



*J II l'audia ici so lappclor la rcui irfjuc insérée dans la note p. ^■Î4S. 



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