Sur la théorie du dépeloppetnent des fonctions, 359 



f(-t[-u:u,..)=(^-t\-u\v,..Y+{-t\-u',i',..)'i+..{-t',-u',v,..r+'f[r-f,-u\t',..)..i) 



pour toute valeur de t', u\ v,.., ainsi que 



<]r(— «'.9, — ffs, ys, . .) 



pour s = o ou — = o respeclivcmeut, et toute valeur finie de a, ß', 

 j, ..; d'où re'sulle que le second membre de l'e'quation 3) forme 

 encore le de'veloppeinenl rcspeciivement ascendant ou descendant 

 du premier. 



Or la fonction /(as, ßs, ys, . .) prend, par l'hypothèse, des 

 valeurs réelles pour toute valeur négative de a, ß et toute valeur 

 positive des autres facteurs y,.., ainsi que pour toute valeur de 

 s comprise entre les limites o et X on -{-co et X, suivant que le 

 développement en question est supposé respectivement ascendant 

 ou descendant; d'où s'ensuit évidemment qu'il en est de même de 

 celle de /( — as, — ß's, ys, . .) pour des valeurs quelconques po- 

 sitives àe a, ß, y, • : 



Donc, d'après le premier cas du théorème actuel, les coefli- 

 cients des termes incomplexes du second membre de l'équation 3) 

 seront tous réels, d'où résulte immédiatement l'énoncé de la se- 

 conde partie de notre théorème. 



De la proposition que nous venons de prouver découlent, 

 comme corollaires, les vérités analytiques suivantes analogues à 

 celles des pages précédentes 353, 354: 



