Sur les 'expressiofis e - et e\^ 683 



a^- -4- IL + . 



. u« + i; ;2n + 2) ^ t2« + i) • • C'-in + •♦; 



2 . .S- 2-3' 



CJ« + 1)(..'« + 2J + (2«+,l)..(2« + 4) + • • ' 



lesquelles sont rcsjieciivenient moiudrcs que celles des progressions 



géomc'uiqucs 



2- 2' V 



(.!«+i)' *" (-'«+!)■' "r (2« 4- IJ'^ + ■ ' ' 



2..V ■ 2.3'- ■ 2.3^ ■ 



(2« + ij^ "T (•.'« + ir + (2« + !")<■ "T ♦• » 



c'esl-à-diie que les expressions 



4 _. n 



4n- + 4« + 3 " 2«--j-2n— l 



Or les cqualions 1) cl 2), dont la première a lieu dans le 

 cas de n — 2" et la seconde dans celui de /2 = 37 m c'taut un en- 

 tier positif quelconque^ sont incompatibles avec la supposition que 



^ ou e^^ 



soit rationnelle. 



£n elfct, si l'on v pose 



e^- = — et e'^—-ô/y 



a, ß et «} /^ étant des entiers de'termine's, elles se changeront, 

 après les réductions convenables, eu celles de 



2" - '//„„ {a- + /5=) — aße = aßcp 

 et 



't2„(ß''+ /ï") — aß'e = a'ß'cp, 



(jui l'une cl l'autre sont iniponsibles, puisque leurs preuiicrs uieiu- 



