148 REVUE INTERNATIONALE DES SCIENCES 



sur les sens peut être indiquée complètement de façon à n'être sus- 

 ceptible que d'une seule interprétation, on doit^ d'après moi, déclarer 

 qu'il est possible de se représenter la chose. Gomme on suppose 

 qu'elle n'a jamais encore été vue, aucune expérience antérieure ne 

 peut venir à notre aide et diriger notre imagination vers la découverte 

 de la série exigée de sensations ; nous ne pouvons y parvenir que par 

 la conception de l'objet ou du rapport que nous voulons nous repré- 

 senter. Il s'agit donc en premier lieu de se former cette conception et 

 de la spécialiser autant que le but indiqué l'exige. La conception de 

 figures de l'espace ne s'accordant pas avec celles des notions ordi- 

 naires ne peut être développée avec certitude que })ar la géométrie 

 analytique. En 1828, Gauss a le premier donné les moyens analytiques 

 de résoudre ce problème, dans son traité sur la courbe des surfaces 

 planes, et Riemann a employé ces moyens pour découvrir les systèmes 

 de la géométrie logiquement possibles et conséquents avec eux-mêmes : 

 on a donné à ces recherches le nom approprié de métamathématiques. 

 Il est à noter en outre que Lobatschewski avait déjà composé (en 1829 

 et 1840) une géométrie sans la proposition des parallèles par les rai- 

 sonnements synthétiques ordinaires, qui est parfaitement en accord 

 avec les parties correspondantes des nouvelles recherches analyti- 

 ques. Enfin Beltrami a indiqué une méthode de figuration d'espaces 

 métamathématiques on divisions de l'espace d'Euclide, par laquelle 

 il est assez facile de déterminer comment ces espaces apparaissent 

 dans la vue perspective. Lipschitz a prouvé l'applicabilité des prin- 

 cipes généraux de la mécanique à ces espaces, de sorte que la série 

 de sensations auxquelles ils donneraient lieu peut être indiquée 

 complètement , ce qui prouve la possibilité de se représenter ces 

 espaces dans le sens que nous avons donné à cette expression. 



Ici s'élèveront des objections. Comme preuve de la possibilité de 

 se représenter une chose, je demande seulement qu'on i)uisse distinc- 

 tement indiquer les sensations de chacun do nos organes, au besoin 

 avec le secours de la connaissance des lois physiologiques, qui don- 

 neraient l'impression que l'objet ou les rapports qu'on veut se repré- 

 senter existent réellement. Il est en effet indispensable d'être au fait 

 des méthodes analytiques, des constructions perspectives et des phé- 

 nomènes optiques pour }»ouvoir se représenter les rapports dans des 

 espaces métamathéinaliques. 



Ceci ne s'accorde pas avec l'idée qu'on se faisait jadis d'une notion, 

 ne reconnaissant comme telle qu'une conception dont on devient 

 conscient sans réflexion et sans effort dès qu'on ressent une impres- 

 sion des sens. Nos essais pour nous représenter des espaces mathé- 



