Nr. 2X 



Natnnvissonsclinftliclio Wdclionsclirift. 



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Die Do iitsolio Ant liro ]i n 1 o i;eii- \'cis anim 1 ii np; wird iliri' 

 Sitzun;;cii vom 6. bis 1-. S(MitoiiilH'r alilialten. 



Die 18 General -\ eisaiiiiiilii iif; des (leut.selKüi 

 Apotlioker-Veioins findet vom !•. bis 12. Septeiiil)er in der 

 Stadtlialle in Mainz statt. Mit derselben \vir<l einc^ |)liarniaeentisL'lie 

 Ausstellung verbunden sein. 



Der I. internationale l'liysiol Of;en ■ Con j^ress sull .■lui 

 1(1. September in liasel tagen. 



Dil' Astronom iselie (i cscl Iseliaft tritt zu ihrer ilies- 

 jflhrlgen Versannnlung vom 1(1. bis I-'. September zu Brüssel im 

 i'alais des Aeademies zusannnen. 



Die 7. II aup t versani in 1 ung des l'reuss. Medieinal- 

 beam ten- Vereins wird am 11. und 12. September in Berlin, 

 Klosterstrasse Uli, im grossen Hörsaal des Ilygieniseben Instituts 

 stattfinden. 



Die British Association for the Advaneenient ot' 

 Science hält ihre .')0. Jahresversammlung vom 11. bis li). Sep- 

 tember in Neweastle-on-Tyne ab. Das Bureau befiiulet sieh in 

 London W., Albermale Street 22. Präsitlent: Professor Flower. 



Fragen und Antworten. 



Nach welchem Gesetze sind die ftuadratzahlen gebildet, 

 die mit gleichen Ziffern endigen? wo findet man Litteratur 

 hierüber? 



Diese Frage ist von Morel und F. HoHniann iu den „Nou- 

 velles Annales de Mathemati(iues" (2. Serie, Bd. 10) für Quadrat- 

 zahleu behandelt worden, welche auf zwei gleiche ZiÖ'ern 

 endigen; es ergiebt sich dabei, dass diese Zahlen in der Formel 

 (»■50 ±12, (»1 = 0,1,2,..,), enthalten sind und dass — die Null 

 ist natürlich ausgeschlossen — Ijei t^uadratzahlen die beiden 

 gleichen Fndziffern 44 sind. Jede Zahl, die auf zwei andere 

 gleiche Zifl'ern endigt, kann also kein (Quadrat sein. 



Nun entsteht natürlich die Frage, welche Quadratzahlen 

 endigen mit o oder melir gleichen Zittern V Hierüber ist mir 

 nichts in der Litteratur bekannt geworden. Die Sache erledigt 

 sich aber ganz einfach. Offenbar können die Quadratzahlen mit 



3 gleichen Endziffern nur unter denen mit 2 gleiclien Endziffiun 

 gesucht werden, d. h. unter den in der obigen Formel enthaltenen 

 Zahlen. Ist ;) eine solche Zahl, deren <.,)uadrat auf o gleiche 

 Ziffern endigt, so hat offenbar (w-5tX)4;«)' ebenfalls o gleiche 

 Endziffern, so dass man von den in der ersten Formel enthaltenen 

 Zahlen nur diejenigen, welche unter 250 liegen, daraufhin zu 

 untersuchen hat, ob ilir Quadrat 3 gleiche Endstellen besitzt. 

 Von den zu betrachtenden Zahlen: 12, 38, (32, 88, 112, 138, 1G2, 

 188, 212, 238 besitzt aber, wie die Keelinung zeigt, nur 38- = 1444 

 drei gleiche Ziffern am Ende, daher sehliessen wir, dass sänunt- 

 liche Zahlen, deren (.Quadrat mit 3 gleichen Stellen endigt, durch 

 die Formel m ■ äO(J ± 38, (in = 0, 1, 2, . . .) geliefert werden. 



Jetzt erhebt sich wiederum die Frage, welche Zahlen die 

 Eigenschaft haben, dass ihr Quadrat auf 4 gleiche Stellen endigt. 

 Auf dieselbe Weise wie eben kann man sehliessen, dass diese 

 Zahlen in der Formel m ■ 5000 ± n enthalten sein müssen, wenn n 

 irgend eine Zahl der verlangten Eigenschaft bedeutet. Offenbar 

 hat man daher nur nöthig zu unter.suchen, ob eine der durch die 

 Formel m • 500 + 38 dargestellten Zahlen, welche unter 2.500 liegt, 

 auf 4 gleiche Ziffern endigt; man hat also die l^Uiadrate von 38, 

 4(;2, 538, 962, 1038, 14(12, 1.538, 19C.2, 2038, 2462 zu bilden. Die 

 Ausrechnung ergiebt aber, dass keine dieser Quadratzahlen auf 



4 gleiche Ziffern endigt. Ich habe daher den Satz: 



„Keine (ju ad ratzahl kann mehr als 3 gleiche End- 

 ziffern haben." 



Mit Hilfe dieses Satzes kann man häufig ohne weiteres ent- 

 scheiden, ob eine vorgelegte Zahl ein Quadrat ist oder nicht. 

 Man kann aber noch weiter sehliessen: gäbe es eine vierte Potenz 

 (ein Bi(piadrat) o', welche mit zwei gleichen Ziffern endigte, so 

 niüsste <r eine Zahl von der Form «i -.50^12 sein. Diese Zahlen 

 endigen sämmtlich auf 2 oder 8. Nun giebt es aber bekanntlich 

 keine Quadratzalil, welche auf 2 oder 8 endigt, also kann es 

 auch keine 4te Potenz geben, die auf zwei (oder mehr) gleiche 

 Ziffern endigt Demnach erhalte ich den Satz: 



„Die 4'!', 8te , 2nte Potenz keiner dekadischen Zahl 



kann auf zwei (oder mehr) gleiche Ziffern endigen." 



Analoge Fragen lassen sich natürlich ebenso für Cubikzahlen 

 aufwerfen, und es ergiebt sich, dass ein Cubus auf beliebig viele 

 gleiche Ziffern 1, 3, 7, 8 oder 9 endigen kann; doch ist mir keine 

 Formel bekannt, welche die Zahlen, deren Cubus auf gleiche 

 Ziffern endigt, entsprechend dem obigen darstellt. Dabei hat 

 man, wie leicht ersichtlich, nur diejenigen Zahlen zu unter- 

 suchen, deren Cubus auf gleiche Ziffern 1, 3 oder 7 endigt. Wie 

 sehr leicht ersichtlich und wie auch Brocard (a. a. U. Seite 188) 

 angiebt, endigen die Cuben der Zahlen /«•50+14 auf 44. Man 

 kann dies aber nicht erweitern, denn eine einfache Rechnung 

 führt uns zu dem Satze: 



„Es giebt keine Zahl, deren Cubus auf iiiehr als 

 zwei gleiche Ziffern 4 endigt." 



Entsprechende Sätze lassen sich natürlich auch für andere 

 Zahlen.systeme :ils das dekadische ableiten, doch will ich darauf 

 nicdit nähci' eingehen. Es sei der Herr l'ragestidler nur ni>ch auf 

 ähnliche Eigenscli.'il'ten iler Zahlen aufnierksaiu gemacht, welche 

 er in dem Aridiiv der Mathematik und Physik (lirsgeg. von Hoppe), 

 in der Zeitschrift für mathcuiaf hisclien und naturwissenschaft- 

 liehen Unti'rriclit ( lloH'mannl, iu .Schlömilch's Zeits(dirift für 

 Mathematik iMid Physik, in eleu N'ouvidles AnnalesdeMatlu'niatiques, 

 in „^lathcsis" u. s. w. angegeben findet. A. Cutzmer. 



Litteratur. 



August Weismann, über die Hypothese einer Vererbung von 

 Verletzungen. Verlag von (iustav Fischer, .lena. ISS'.I. 



Schon im .lahre 1883 hat Weismanu sich gegen die \'er- 

 erbung erworbi^ner Charaktere au.sgiwprochen und sucht mm in 

 diesem Aufsatz den Nachweis zu führen, dass wenigstens die als 

 einziger directer Beweis für die Lamark'sclu^ Ansi<'ht angeführte 

 Vererbung V(in Verletzungen in Wirklichkeit nicht vorhamhui ist. 

 Die ErsiduMuungen, aus denen man bisher auf da.s Stattfinden 

 einer solchen sehloss, lassen eine ganz andere Deutung zu, sie 

 werden besser als Vererbung von Bildungshemmuugen aufgefa.sst, 

 oder man kann nachweisen, dass bei einigen derselben (lie bei 

 dem Kinde auftretende Abnormität der Verletzung seiner Er- 

 zeuger gar nicht entsprach. Weismann hat die Frage auch 

 experimentell geprüft. Er hat Mäuse entschwänzt, und zwar 

 immer Männchen und Weibchen in allen auf einander folgenden 

 Würfen, aber bis zur 5. Generation ist auch nicht eine einzige 

 schwanzlose Maus zum Vorschein gekonuuen. Der Autor hält 

 damit die Frage nach der Vererbung erworbener Charaktere 

 zwar nicht für gelöst, glaubt aber, dass diese Theorie nur dann 

 von der Wissenschaft angenommen werden dürfe, wenn die Er- 

 scheinungen der Bewegungen in der organischen Formenreihe sich 

 auf keine andere Weise erklären lassen. A. M. 



Siegmund Günther, die Meteorologie ihrem neuesten Stand- 

 punkte gemäss und mit besonderer Berücksichtigung geogra- 

 phischer Fragen. München, Theodor Ackermann, 1889. 



Seitdem ilie Meteorologie durch wenige, aber äusserst wichtige 

 Gesetze eine feste Grundlage gewonnen hat, ist die meteorologische 

 Litteratur ganz beträchtlich angewachsen. Neben dem elementar 

 gehaltenen, ganz ausgezeichneten und wohlfeilen Klein'schen Leit- 

 faden bilden Mohn's klassische Grundzüge und die gründlichen, 

 speciellen Zwecken dienenden Werke von Sprung, van Bebber und 

 Hann-Woeikow eine vorzügliche Buchlitteratur, welcher sich eine 

 beträchtliche, mehr den Tagesfragen gewidmete Zeitschriften- 

 litteratur anschliesst. Die in der letzteren niedergelegten Beob- 

 achtungen und Aufzeichnungen bergen eine reiche Fülle von Stoff", 

 dessen Sichtung eine mühsame und für den Anfänger abschreckende 

 Arbeit ist, welcher aber in den bekannten, zusanimenfasseuden 

 Werken noch keine Vervverthung gefunden hat. 



Dieser Arbeit hat sich nun der durch seine mathematischen 

 Werke, durch seine gründlichen Studien zur Geschichte der Mathe- 

 matik, und durch sein Werk über Geophysik bekannte Verfasser, 

 Prof. Dr. S. Günther in München, unterzogen und die Ergebnisse der- 

 selben in dem vorliegenden Werke veröffentlicht. Das ausserordent- 

 liche Geschick des Verf , das historisch-litterarische Moment in der 

 Darstellung zur Geltung zu bringen, hat sich auch hier wieder be- 

 währt; es ist ein ganz ausserordentlich reiches Material, das Verf. 

 in seiner Meteorologie verarbeitet hat. Dass dabei in erster Linie 

 die deutsche Litteratur herangezogen wurde, ist natürlich, doch 

 wäre in der marinen Meteorologie eine etwas weitergehende Be- 

 rücksichtigung namentlich der englischen Untersuchungen recht 

 wünschenswerth. 



Die Anlage des ganzen Werkes ist als sehr gelungen zu be- 

 zeichnen. In vier Hauptstücken und zwei Anhängen, die sehr 

 wohl als fünftes und sechstes Hauptstück betrachtet w erden können, 

 behandelt der Verf. die allgemeinen Eigenschaften der Atmosphiire 

 und deren Beobachtung, die Lehre von den Bewegungen in der 

 Atmosphäre, die allgemeine Klimatologie, die specielle klinuitische 

 Beschreibung der Erdoberfläche, die praktische ^Vilterung.skunde 

 und die meteorologische Optik; dem ganzen geht eine kurze Ein- 

 leitung voran über Aufgabe und geschichtliche Entwicklung der 

 Meteorologie. Zur weiteren Charakterisirung des Werkes wollen 

 wir uns der Worte des Verf. bedienen: „Als Leser denkt sich der- 

 selbe in erster Linie Studirende der Naturwissenschaften und der 

 Erdkunde, doch wünscht er auch Lehrern an höheren Bildungs- 

 anstalten entgegenzukommen, welche ihre früher erworbenen 

 meteorologischen Kenntnisse wieder auffrischen möchten, und über- 

 haupt soll der Leserkreis keineswegs mit der Fachwelt im engeren 

 Sinne sich decken. Aus diesem Grunde ist von der Einfügung 

 mathematischer Betrachtungen und Formeln nahezu abscdut Ab- 

 stand genommen worden. Dass hierdurch dem Autor manche 



