312 JOSÉ H. VILLA LON 



veces que para ciertos valores de la variable iudependieute corres- 

 ponden á la función valores críticos, ya sean éstos infinitos, imagi- 

 narios, etc., pero que para valores crecientes de la variable se re- 

 producen los valores reales de la función; entonces también la fun- 

 ción es discontinua y se dice que la función presenta sohiciones de 

 continuidad, existiendo la continuidad en el intervalo de estos valo- 

 res singulares; ejemplo de esto último es la función y= tan x que es 

 continua para todos los valores de x comprendidos entre 0° y 90° 

 y al pasar por este último valor la tangente cambia de -f- á — , pa- 

 sando por oc . Verdaderamente, si se limita el campo de las varia- 

 ciones de la variable, podemos considerar la función como continua 

 entre dichos límites. 



Aunque generalmente sólo nos ocuparemos de las funciones con- 

 tinuas de variables continuas, sin embargo, algunas veces nos ocu- 

 paremos de funciones discontinuas, pero éstas serán estudiadas 

 solamente en aquellos intervalos ó para aquellos valores de las va- 

 riables entre los cuales la función es continua. 



Ejemplo de función realmente discontinua es «y^=( — a)-' cuaudo 



a es positiva. Si concebimos los valores sucesivos de la variable a 



p , , <?"/ 



puesto en la forma fraccionaria — la función será y=\l ( — a)i' . 



Siempre que p sea impar y q par el valor de y será imaginario; en 

 cambio será real cuando p sea par; por lo tanto dándole á p y á 5 

 valores suficientemente grandes, se puede, haciéndose variar x muy 

 poco, atribuirle sucesivamente una infinidad de estos valores frac- 

 cionarios, los que determinando alternativamente unas veces un 

 valor real y otras imaginario para la y no corresponden, sin em- 

 bargo, á ninguna continuidad en las variaciones de esta función.» 

 (Freycinet.) 



La fórmula de Taylor nos facilita un medio elegante para demos- 

 trar las dos primeras condiciones de continuidad de las funciones, 

 es decir, que si en una función entera y racional y =f (-f) se hace 

 variar la variable independiente por incrementos infinitesimales 

 entre los valores a y b, f (x) variará también por variaciones infini- 

 tesimales ó sea que/ (x) variará de un modo continuo con x. 



En efecto, supongamos que á partir de a tome la x un incremen- 

 to h] su nuevo valor será a-\- h; y la función y =:/ (.t) habrá tam- 

 bién variado y su nuevo valor será y' =f (a -{- h) que desarrollado 

 por la forma Taylor será. 



