INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DKL CALCULO INFINITESIMAL 313 



y' =f (a + h) =f (a) -f /' (a) h ^ I" (a) — 



en que todos los coeficientes son finitos; la diferencia, pues, entre 

 los dos valores sucesivos de la función será 



/(a + A)-/(a). 



Si el incremento h déla x fuera una cantidad infinitesimal, la 

 diferencia anterior de la función sería también infinitesimal; y 

 como esto será igualmente cierto para todos los valores de x com- 

 prendidos entre a y b resulta demostrada la continuidad de la 

 función /(.t) . 



FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 



Se habrá observado que hasta ahora sólo hemos hablado en ge- 

 neral de las variaciones que experimenta una función debido á las 

 variaciones de su variable y acabamos de mostrar que la función 

 no puede cambiar per saltuvi sino de un modo gradual y continuo; 

 pero al variar la función puede efectuarlo en el mismo sentido que 

 lo hace la variable independiente, es decir, que en y =^f (x) cuando 

 X crece, y crece; y cuando x decrece, y decrece, también, en cuyo 

 caso se la denomina función creciente; y se dice que la función es 

 decreciente cuando ésta varía inversamente del modo como varía x, 

 es decir, que cuando x crece, y decrece, y vice-versa. Así pues, es 

 evidente, que y=x^ es siempre una función creciente de x mien- 



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 tras que y ^ — es siempre una función decreciente de x. 



Del mismo modo y = tanx es siempre una función creciente 

 pero y^senx es á veces creciente y á veces decreciente, segCín los 

 valores que recibe x. 



Entre los valores que toma la/(x) mientras la x varía desde « 

 hasta b deben incluirse todos los valores entre /(a) y f{b); 



El signo de /'(^)> ^n el desarrollo 



f(a + h) -/(a) =f' (a) h +/"(«) — 



determina si / (.r) es creciente ó decreciente, porque cuando h es 

 infinitesimal el signo de la serie es igual al signo de su primer tér- 

 mino, es decir, que el signo del iuciemento total dependerá del 

 signo de /' (a)/t : por lo tanto cuando /'(a) es positivo /(a:) es 

 creciente con relación á x y cuando /'(a) es negativo f (x) decrece 

 á medida que x crece. 



