XLIX] tJber ein allgemeines Problem 3 



tiges Integral der Differentialgleichimg H{u) = f{x) zu finden 

 das die Bedingungen (3) befriedigt. 



Um dieses Problem auf die Auflösung einer linearen Inte- 

 gralgleichung zuriickfiiliren zu können beweisen wir zunächst 

 zwei vorbereitende Sätze. 



3. Es seien k^ Jc2, . . . , hn ein System von Konstanten 

 und durch die G-leichung 



fPu cl»-^u f^^^ I 7 



^(^'^ =d^n+ h ^n^X + • • • + f^-n-r ^ + K « 



werde ein Differentialansdruck K definiert. Wir zeigen zu- 

 nächst dass die Konstanten ki stets so gewählt werden kön- 

 nen, dass es eine entsprechende Funktion G(Xj ^) mit den f ol- 

 genden Eigenschaften gibt: 



1) Sie und ihre partiellen Ableitungen nacli x bis auf 

 die 71 — 2:te Ordnung sind als Funktionen von x betrachtet, 

 tiberall stetig. Die n — l:ste und die n:te Ableitung nach. x 

 haben im Punkte x='^ eine Unstetigkeitsstelle, indem die 

 72 — l:ste Ableitung dort den Abfall 1 aufweist, sonst sind 

 auch diese Ableitungen stetig. Als Funktionen von i betrach- 

 tet känn sowohl die Funktion G{x,'$) als die sämmtlichen 

 oben genannten Ableitungen in einer endlichen Anzahl von 

 diskreten Punkten endliche Sprtinge machen, und die n — l:ste 

 und n:te Ableitung sind ftir '^ =r x unstetig, sonst sind sie 

 aber stetig. 



2) Sie geniigt tiberall mit Ausnahme der Geraden x = ^ 

 der Differentialgleichung K{u) = 0. 



3) Sie geniigt fiir jedes ^ den Bedingungsgleichungen (3). 

 Zum Beweise dieses Satzes verfahren wir wie folgt. 

 Indem wir mit r^ , ro , . . . , r„ eine Reihe von n ver- 



schiedenen positiven Konstanten bezeichnen, so seien die 

 Grössen ki dadurch definiert, dass die Konstanten r,- die 

 Wurzeln der Gleichung 



r" + k^ r'^-1 + . . . + kn-i r-\-kn = 



sind. Ferner definieren wir eine Reihe von Konstanten /^j, 

 1^2' ■ ' ' ) ("^n durch die Gleichungen 



