XLIX] Uber ein allgemeines Problem. 7 



b b 



a a 



Es sei ferner 



N{x, '^) = G{x, 'i) — M{x, ^) 



N(x, '§) wird dann eine Funktion, deren w:te Ableitung nach x, 

 als Funktion von x betrachtet ftir x='§ einen endlichen 

 Sprung machen känn, und die, gleich wie ihre Ableitungen 

 nach x^ als Funktion von i* betrachtet ftir '§ = x^^^ x^-, - • •■, Xn 

 ebenfalls endliche Sprtinge machen känn. Sonst aber wird 

 sowohl die Funktion N selbst als ihre Ableitungen nach x 

 bis auf die n:te Ordnung iiberall stetig. Es ist also 



6 b 



K \ jN{x;^) <f{^) d-§\= JK \N{x;é) \ <fi:0 d I 



a a 



Da 



b b b 



K\jGix:^)<fi^)d'§l=K\jM{x;§)cp{x)d-^l-i-Ki jN{x,^)cpi^)d-i\ 



a a a 



erhalten wir aus den beiden obigen Grieichungen ohne Schwie- 

 rigkeit die zu beweisende Gleichung (7). 



Man sieht auch leicht, dass das Integral (6) eine nebst 

 ihren Ableitungen bis auf die iiiie Ordnung stetige Funk- 

 tion von X sein muss. 



Es sei jetzt v(x) eine Funktion, die nebst ihren n ersten 

 Ableitungen stetig ist und die Bedingungsgleichungen (3) 

 erftillt. Wir setzen K{v) = — (f{x) und behaupten, dass v{x) 

 mit der Funktion 



6 



w{x) = jG{x/§)(p{^)d§ 



a 



identisch ist. Die Differenz v — ?(' gentigt, da nach dem so- 

 eben Bewiesenen K{w) = — (p{x), der Gleichung K{u) = O, und 

 da sie nebst ihren n ersten Ableitungen stetig ist, muss sie 

 also in der Form 



r, X rj X Vn X 



c 1 e -j- C2 e -\. . . . -^ c,,e , 



