2 , J. T. SÔDERBEEG, 



Die Substitutionen, welche in jeder Kolumne des Schemas 

 G, TT'G, . . . T:1,G 



Cri, , il tri, , . . . i^_iCrij 



enthalten sind, bilden eine Gruppe. 



Diesen Satz habe ich a. a. 0. mit anderen Worten ausgesprochen 

 und in meiner Inauguraldissertation auch bewiesen. Weder der Aus- 

 spruch noch der Beweis des Satzes waren aber rein substitutionentheo- 

 retisch, sondern auf die Anwendungen der Substitutionentheorie auf die 

 Lehre von Funktionen mehrerer Variabein gegründet. Ich werde hier 

 den Beweis des Satzes, wie den Ausspruch desselben, rein substitutio- 

 nentheoretisch herstellen. 



Wir bemerken zuerst, dass jede Substitution, welche in eine Ko- 

 lumne in (1) eingeht, nur einem der r Komplexe von Substitutionen in 

 dieser Kolumne zugehört. Wenn also eine Substitution ^ allen Kolumnen 

 in (1) zugehört, so muss sie in r und nur in r der r^ Komplexe von 

 Substitutionen in (1) eingehen. Die Komplexe, in welche 2 eingeht, 

 mögen 



(2) GTa„, T^ GTa, , . . . . Tr-i G Ta^_^ 



sein, wo für T,, die Ziffer 1 zu setzen ist. Es ist leicht zu zeigen, dass 

 Kj, , «1 , . . . ß^_i alle verschieden sind. 



Wir haben nämlich, was auch i und j seien, für passende Werte 

 h und k 



2 = Ti Si,Tai und ^ — T~ Si 1 ttj , '■' Ti S^Ta. = Tj SkJ-a^ • 



Wäre nun «^ = a^ wenn i^j , so hätten wir 



-^j Si, = J-j Si , 



also, wenn für beide Substitutionen die reciproken Substitutionen ge- 

 setzt werden, 



S)i ij = Oi Ij , 



was unmöglich ist. Also kan nicht a^ = aj sein, wenn i<7, und ctg , 

 «1 , . . . . a^_j sind alle verschieden. 



