Einige Untersuchungen in der Algebra. 3 



Die Indices «^ , ce, , . . . a^_i geben die Horizontalreihen in (1) 

 an, in welchen die respektiven Komplexe (2) enthalten sind. Es folgt, 

 dass nie zwei von den Komplexen (2) in derselben Horizontalreihe in 

 (1) vorkommen. Aus dem für die Ungleichheit der Indices cc^ , ce, , . . . 

 «r-i gegebenen Beweise kann auch gefolgert werden, dass die Substi- 

 tutionen in einer beliebigen Horizontalreihe in (1) sämmtlich verschie- 

 den sind. 



Es sei nun auch eine Substitution, welche in alle Kolumnen in 

 (1) eingeht, und es mögen 



(3) GTß^ , Ti GTß^ ^ . . . T^_i G Tß,_i 



die Komplexe in (1) sein, welchen zugehört. Weil «^ , a, , . . . ß,,_i 

 alle verschieden sind, kann man die Komplexe (3) in einer neuen Ord- 

 nung folgendermassen schreiben: 



(3') Ta„GTy^^ Ta^ GTy^ ^ . . . Tar-MTVr-i- 



Wenn wir die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit 

 denen in einem der Komplexe (3') multipliciren, so erhalten wir einen 

 Komplex von Substitutionen, in welchem ^0 vorkommt. Dies gilt 

 insbesondere, wenn die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit 

 denen in dem entsprechenden Komplexe (3') multiplicirt werden. 2:0 

 muss daher in sämmtliche Komplexe 



(4) GTy^ ^ Ti GTy^ , . . . T,._iGTy^_i 



eingehen. 20 geht also wie 2 und in jede Kolumne in (1) ein. 

 Die in jede Kolumne in (1) eingehenden Substitutionen bilden also eine 

 Gruppe, w. z. b. w. 



Diese Glruppe bezeichnen wir durch 



{{G, r, , T,, . . . 2;_o) , 



und verstehen unter 



((r , Tj , Tj , . . . r^_i) 



die niedrigste Gruppe, welche die in Klammern aufgenommenen Substi- 

 tutionen enthält. 



3. Es existirt eine Gruppe F von Substitutionen von r Ele- 

 menten, welche zu der Gruppe ((G , T, , . . . Tr^-^) isomorph ist. Da 



