Einige Unteesuchungen in der Algebra. 5 



s^s.2 entspricht also ^0 nach (4). Hieraus folgt, dass die Substitutionen 

 (5) eine Gruppe bilden und dass diese Gruppe zu der Gruppe (((? , 

 T", , . . . T^-O) isomorph ist. Wir bezeichnen die Gruppe (5) mit F. 



Der Substitution 1 in T entsprechen in ((G , T, , . . . Tr-O) die 

 Substitutionen, welche den Gruppen G ^ T^ GT^ ^ . . . TZ[GT^_i ge- 

 meinsam sind. Ist die Anzahl dieser Substitutionen m, und bezeichnet 

 R die Ordnung von T, so ist die Ordnung von ((ö , T, . . . ^^„i)) 

 gleich mR. 



Wenn F transitiv ist, muss (((? , Tj , . . . Tr_i)) Substitutionen 

 aus allen v^ Komplexen in (1) enthalten. Wenn ((G , T", , . . . T^.i)) 

 Substitutionen aus allen r Komplexen einer Kolumne in (1) enthält, so 

 ist F transitiv. Ist F intransitiv, so existiren in jeder Kolumne in (1) 

 unter den r Komplexen solche, in welche keine Substitution aus ((G , 

 r, , . . . 3;_i)) eingeht. 



4. Es mögen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, 

 so beschaffen, dass die Substitutionen in 



(6) /, J^'^Tj , . . . J2^'-'^Z_, 



eine Gruppe bilden, wenn ^<*' , ■ ■ • -2'''""'* passende Substitutionen aus 

 G sind, welche vielleicht auf verschiedene Weise für verschiedene J zu 

 wählen sind. Dann muss die Gruppe (6) in ((ö , Tj , . . . Tr_i)) vor- 

 kommen. 



Weil nämlich die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden, so ist 

 T^^^'-^^"^ eine derselben und man erhält wieder die Substitutionen in 

 (6), wenn man sie links mit T^^^^ ■'"' multiplicirt. Die Substitutionen 

 in (6) sind also dieselben, wie die in 



Diese sind aber alle in der {X -\- 1)~ Kolumne in (1) enthalten. Jede 

 Substitution in (6) kommt also in der (A + 1)— Kolumne in (1) vor 

 und also in jeder Kolumne in (1), da l willkürlich ist. Also muss jede 

 Substitution in (6) in {(G , T, , . . . T^^t)) eingehen. 



Es sei H die Gruppe der Substitutionen, welche G und (((r , 

 T, , . . . r,_i)) gemeinsam sind. Weil (((? , T^ , . . . T,^,)) die Sub- 

 stitutionen (6) enthält und also Substitutionen aus allen r Komplexen in 

 der ersten Kolumne in (1), so besteht {(G , Tj , . . . Î^r-O) ^.us 



