6 J. T. Söderberg, 



(7) H , HS^'^T, , . . . HS"-''T,_i , 



wenn S'*^ , • • • S'''"'' passende Substitutionen aus G sind. H genügt also 

 der Definition von J unter der Voraussetzung, dass eine oder mehrere 

 Gruppen J existiren. Wenn nur ein / existirt, ist J demnach identisch 

 mit H und (6) mit (7), also mit ((Ö , Tj , . . . T'r-t))- Wenn mehrere 

 J existiren, ist eine der J identisch mit H und also eine der Gruppen 

 (6) mit (7), d. h. mit ((ö , T^ , . . 2;_,)). Die Gruppen (6) haben 

 daher die Eigenschaft, dass eine derselben die übrigen enthalten muss. 



Hiermit ist folgender Satz bewiesen: 



Es mögen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, welche 

 die Eigenschaft haben, dass die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden, 

 wenn S^^^ i ■ • • .2""""'' passende Substitutionen aus G sind, welche vielleicht 

 für verschiedene J auf verschiedene Weise zu wählen sind. Wenn nur eine 

 Gruppe J existirt, ist (6) mit ((G , T, , . . . T^_i)) identisch. Wenn meh- 

 rere J existiren (und also auch mehrere Gruppen (6)), so sind die Gruppen 

 (6) so beschaffen, dass eine derselben die übrigen enthält, und diese Gruppe 

 ist mit ((G , T, , . . . Tr_i)) identisch. 



Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne von (1) eine 

 Gruppe bilden, ist die allgemeinste Gruppe J die Gruppe G selbst, und 

 (((9 , Tj , . . . T,_,)) ist nîit der aus G , GT, , ... G r,_i bestehenden 

 Gruppe identisch. Die Identität dieser Gruppen geht auch aus der Defi- 

 nition von ((6r , Ti , . . . T^-i)) hervor. 



5. Wir bemerken zuerst, dass die Substitutionen, welche durch 

 die Eigenschaft charakterisirt sind, dass jede in die (a^ + 1)—, (a^-^i-j- 1)—, 

 . • ■ (oîç+m-i + 1)— Kolumne von (1) eingeht und ausschliesslich in solche 

 Komplexe dieser Kolumnen, welche in der (op -f- 1)— , («p+i + 1)— . . . 

 (öß+m-i + 1)— Horizontalreihe enthalten sind, eine Gruppe bilden, nämlich 



(( ^"e ^ ^«e ' ^"e -^"e+i i • • • i ^»e ^«e+„_, )) • 



Wir nehmen weiter an, dass F intransitiv ist. Es mögen die 

 Elemente von F in die Systeme 



«0 1 *! 5 • • • ^e,— 1 j • • • 5 ^Qi 1 ^Pj+l 1 ■ • • ^Pj+i-l 5 • • • j 



