Einige Untersuchungen in der Algebra. 7 



zerfallen, welche so beschaffen sind, dass F ein willkürlich gegebenes 

 Element nur durch Elemente ablöst, welche demselben Systeme zugehö- 

 ren wie das gegebene Element. Wenn nun eine Substitution in ((G , 

 T, , . . . T'r-i)) den Komplexen 



TjGTaj (; = o, 1, . . . r- 1) 



zugehört, so ist die entsprechende Substitution in F: 



j 



also muss aj gleich einer der Zahlen üc. , «p.+i , . . . «îçj+i-i sein, wenn 

 j eine dieser Zahlen ist. Es folgt, dass die in die {aç. -\- 1)— , 

 (öip.^i + 1)— , . . ■ («Çj_,.i-i + 1)— Kolumne in (1) eingehenden Komplexe, 

 welche eine Substitution in ((G , T, , . . . Tr-O) enthalten, ausschliess- 

 lich in der (a^. -j- IJ^ , (a^.+i + ly^ , . . . (a^.^j-i + 1)?^ Horizontalreihe 

 vorkommen. Also muss jede Substitution in 



(((? , T, , . . . r._0) in die Gruppe ([Tä;GTa^^ , T'^^ T„^^^^ , . . T'^^ T„^^^ _.)) 



■ eingehen, wo f = , 1 , . . . k — 1 successive zu setzen ist. 



Umgekehrt müssen die Substitutionen, welche diesen k Gruppen 

 gemeinsam sind, in alle Kolumnen in (1) eingehen und somit in (((? , 

 T, , . . . Tr-O) enthalten sein. Also besteht diese Gruppe aus den Sub- 

 stitutionen, welche den k Gruppen 



({TäcGTa^^ , ^«V.^W ' • • • ^"Ti^^e.+x-i)) {i = 0,i, . . . k-i) 



gemeinsam sind. 



6. Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne in (1) eine 

 Gruppe bilden, so sind, wenn q <r ist und wir unter «^,052,... a^-i 

 eine Permutation von 1 , 2 , . . . r — 1 verstehen, die Gruppen 



((G , T., , . . . r„^_j) und ((T-; G Ta, , T-^Ta^^, , ■ ■ ■ T^; Ta^_j) 



identisch. 



Weil nämlich die Substitutionen in der ersten Kolumne in (1) eine 

 Gruppe bilden, so enthält jede Kolumne in (1) diese Substitutionen, somit 

 auch die Gruppe ("((? , Ta^ , . . . Ta ^^)) . Nun gilt von den ç, eine 



