8 J. T. Söderberg, 



willkürliche Substitution in {(G , Ta, , . . . Ta )) enthaltenden, Kom- 

 plexen in der 1^ , (a, + 1)^ , • • • («e_i + 1)— Kolumne in (1), 

 dass von der V-^, (a, + 1)?^ , . . . (ap_i + 1)?^ Horizontalreihe in (1) 

 jede einen dieser Komplexe enthält. Gemäss n:o 2 können weiter 

 zwei, eine und dieselbe Substitution enthaltende, Komplexe nicht in der- 

 selben Horizontalreihe in (1) vorkommen. Dann folgt, dass die eine 

 Substitution in {(G , Ta^ , . . . T« )) enthaltenden Komplexe in der 

 (öp _|_ lyJss , {aç^, + ly^ , . . . (a,_, -f ly^ Kolumne in (1) ausschliess- 

 lich in der (a^ + 1)?^ , (ap+, + Vp^ , • • • («r-i + 0— Horizontalreihe 

 in (1) vorkommen. Da nun auch jede Substitution in ((G , T«, , . . . Taç_^) 

 in jeder der genannten Kolumnen in (1) vorkommt, so folgert sich daraus 

 nach dem im Anfange von n:o 5 Gesagten, dass {{G ^ Ta^ ^ . . . Ta )) 

 in [{Tâ^GTaç , TâçTa^^^ , • • • ^«^' ^a,-,)) eingehen muss. In analoger 

 Weise kann bewiesen werden, dass diese Gruppe in jene eingeht. Also 

 sind die Gruppen identisch. 



7. Wir nehmen nun an, dass die Substitutionen einer Anzahl ç 

 der Komplexe in der ersten Kolumne in (1) zusammen eine Gruppe F 

 bilden. Dann lässt sich zeigen, dass die nach n:o 3 gebildete zu ((ö , 

 T, , . . . T^_i)) isomorphe Gruppe F imprimitiv oder intransitiv ist. 



Unter den q Komplexen, deren Substitutionen die Gruppe F bil- 

 den, muss G vorkommen. Die p Komplexe können daher bezeichnet 

 werden durch 



G , GTa, , . . . G Ta^_ j . 



Es sei ferner 2 eine Substitution in (((? , Tj , . . T^-,)) , welche 

 den Komplexen 



T.GTa^ = 0,1 r-l) 



zugehört. Wenn ^ der Gruppe F zugehört, muss für jedes unter den 

 Zahlen , öt, , . . . «e-i vorkommende i auch «; eine dieser Zahlen sein. 

 Wenn nun für ein gegebenes, unter den Zahlen , aj , . . . ap_, vor- 

 kommendes, i das entsprechende k, auch unter diesen Zahlen vorkommt, 

 muss -S" der Gruppe F zugehören. Wenn also für ein unter den Zahlen 

 , öj , . . . ae_i vorkommendes i das entsprechende «j eine dieser Zahlen 

 ist, so muss für jedes unter den Zahlen , a, , . . . fflp_i vorkommende 

 i auch a, eine dieser Zahlen sein. Die Substitution: 



/ , 1 , . . . r - 1 



Vßß, «,, . . . ß,_, 



