10 J. T. Söderberg, 



in {(G , Tj , . • . î^r-i)) » welche in die Komplexe (8) eingehen, bilden 

 also eine Gruppe. 



8. In den Darstellungen der Theorie des Isomorphismus, welche 

 ich gesehen habe, sind einige der gewichtigsten Sätze nicht rein substi- 

 tutionentheoretisch hergeleitet, sondern auf die Anwendungen der Substi- 

 tutionentheorie auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabein gegrün- 

 det. Ich werde hier diese Sätze rein substitutionentheoretisch herleiten. 



Es sei eine Gruppe F von Substitutionen gegeben und eine Un- 

 tergruppe G von F. Es möge r das Verhältniss der Ordnungen von F 

 und G sein. Dann können r- — 1 Substitutionen T^ , . . . T^-i aus i'' aus- 

 gewählt werden der Beschaffenheit, dass die in 



6r , 6r Tj , . . . 6r iV— i 



enthaltenen Substitutionen die Gruppe F bilden. Dann ist nach n:o 4 

 {(G , T, , . . . ^r-i)) mit F identisch, was auch unmittelbar aus der De- 

 tinition jener Gruppe folgert. Nach n:o 3 können wir nun eine Gruppe 

 r der Elemente , 1 , . . . r — 1 bilden, welche zu ((G= , T, , . . . i;_i)) 

 isomorph ist, also auch zu F. Der Substitution l in F entsprechen 

 in F die Substitutionen, welche G, T~''GT^, . . . T~1^GT,_^ gemein- 

 sam sind, r wird nach n:o 3 transitiv. Wir haben also folgenden Satz 

 rein substitutionentheoretisch hergeleitet: 



Für jede Untergruppe G von F kann eine transitive zu F iso- 

 morphe Gruppe gebildet werden, deren Grad der Quotient der Ordnun- 

 gen von F und G ist und deren Ordnung gleich ist dem Quotient der 

 Ordnung von F und der Anzahl der Substitutionen, welche den Gruppen 

 Ö, TZ^GT^, . . . T~\GT,_^ gemeinsam sind. 



9. Wir haben weiter den Satz zu beweisen, dass alle zu F iso- 

 morphen transitiven Gruppen nach der in n:o 8 dargestellten Methode 

 gebildet werden können. 



Es sei K eine transitive zu F isomorphe Gruppe von Substitu- 

 tionen, welche die Elemente l^ , ^^ , . . . |«_i vertauschen. Die Unter- 

 gruppe von K, welche ^o nicht umsetzt, nennen wir A. Da K transitiv 

 ist, enthält sie ■/. — 1 Substitutionen 



welche ^o durch ^1,^2,... Ix_i ersetzen. Die in A , Ar^ ■, • • • Ar^^i 

 enthaltenen Substitutionen bilden die Gruppe K. 



