12 J. T. Söderberg, 



sprechen andere Substitutionen in K. Also sind K und F derselben 

 Ordnung. Da &^ und a ähnlich sind, werden K und F ähnlich, w. z. b. w. 

 Dieser Beweis kommt dem von Prof. Netto gegebenen') ziemlich 

 nahe. Netto stützt seinen Beweis auf die Lehre von Funktionen meh- 

 rerer Variabein, ich habe aber den Beweis in rein substitutionentheore- 

 tischer Form hergestellt. 



10. Wenn in n:o 8 die Gruppe G eine ausgezeichnete Unter- 

 gruppe von F ist, so ist die den Gruppen 



r~1 T'~^ n T rp—1 r^ rp 



Cr , -f 1 Or J j , . . . Ir-iKX 1 ,._i 



gemeinsame Gruppe die Gruppe G selbst. Die Ordnung der Gruppe F 

 wird dann wie ihr Grad gleich ?■, wie aus n:o 8 erhellt. 



Wenn G nur die Substitution 1 enthält, ist Ordnung und Grad 

 von F gleich der Ordnung von F. 



Schliesslich ergeben sich folgende Sätze, die in den mir bekann- 

 ten substitutionentheoretischen Werken nicht vorkommen: 



Wenn die Gruppe G nicht eine allgemeinste Untergruppe von 

 F ist, d. h. wenn die Substitutionen einer Anzahl q < r und > 1 der 

 Komplexe 



(? , GT^ ^ . . . G 2r— I 



eine Gruppe bilden, so muss die Gruppe jT, welche nach n:o 8 transitiv 

 ist, nach n:o 7 imprimitiv sein, und wenn umgekehrt F imprimitiv ist, 

 so ist nach n:o 7 G keine allgemeinste Untergruppe von F. 



1) Siehe Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra von Eugen 

 Netto, pagg. 100 ff. 



