14 J. T. Söderberg, 



Wenn aber (p^ wohl rational ist, nicht aber von den übrigen For- 

 men (3) numerisch verschieden, so wissen wir nicht, ob ^o , a^j , . . . x^-i 

 sämmtlich verschieden sind. Wären x^ ,*■,,... x„^y auch verschieden, 

 so folgt nicht, dass die Gruppe der Gleichung (1) in T~^GTr enthalten 

 ist. Die Gleichung ist bald durch Wurzelgrössen auflösbar, bald nicht. 

 Wir werden im Folgenden Untersuchungen über die Gruppe, die Lös- 

 barkeit und Reduktibilität der Gleichung (1) vornehmen im Falle, dass 

 mehrere der Funktionen (3) denselben rationalen Wert haben. Den 

 Fall, dass f(x) vom fünften Grade ist, werden wir eingehender be- 

 trachten. 



12. Es mögen nun von den Funktionen (3) eine Anzahl ç den- 

 selben rationalen Wert haben, von den übrigen aber verschieden sein. 

 Diese q Funktionen mögen 



^4) %, , «?,, , • • • Vr^_, 



sein. Die Gruppe 



(5) ((nröT,.^,r.;T,_,...T-T,.^_J) 



ist identisch mit der in meiner Inauguraldissertation definirten nume- 

 rischen Gruppe von <^r/)- A. a. 0. habe ich ^-ezeigt, dass die rationalen 

 Funktionen von x^, , a;j , . . . a;„_i , welche für diese Gruppe numerisch 

 unverändert bleiben, einen rationalen Wert haben. Dies gilt, die Wurzeln 

 ^d , aîj , . . . x„_i mögen sämmtlich verschieden sein oder nicht. 



Wenn Xq ^ x^ ^ . . . x„_i alle verschieden sind, ist die Gruppe der 

 Gleichung (1) in (5) enthalten. 



Wenn x^, ^ x^ , . . . a;„_i nicht alle verschieden sind, möge f(x) in 

 zwei Faktoren /i(a;) und f^{x) zerlegt werden, deren der erste /i(a;) die 

 nicht mannigfaltigen Wurzeln von j\x) enthält, die zweite fç.i.x) die man- 

 nigfaltigen. /, (x) und fç,{xj haben dann rationale Koefficienten. Wir 

 bezeichnen durch / die Gruppe von /, {x). 



Es sei 'ifj eine rationale Funktion der Wurzeln von /,(«)? welche 

 für die Substitutionen in (5) numerisch unverändert bleibt, für jede Sub- 

 stitution aber, welche die Wurzeln von /, {x) durch eine Anzahl der Ele- 

 mente «0 , aîj , , . . «„_! auf andere Weise ersetzt, als die Substitutionen 

 in (5), ihren Wert ändert. Diese Funktion hat einen rationalen Wert, 



1) Siehe auch Acta mathematica a. a. O. 



