Einige Untersuchungen in der Algebra. 15 



muss also für / numerisch unverändert bleiben. Also muss entspre- 

 chend jeder Substitution in I eine oder mehrere Substitutionen in (5) 

 existiren, welche die Wurzeln von /, (.«) auf dieselbe Weise unter sich 

 vertauschen, wie die Substitution in /. Wir haben also folgenden 

 Satz: 



Wenn wir in (5) nur Substitutionen berücksichtigen, welche die Wur- 

 zeln von fi(x) ausschliesslich unter sich vertauschen, und in diesen Substitu- 

 tionen nur die Cykeln, welche diese Wurzeln enthalten, so erhalten wir eine 

 Gruppe, welche die Gruppe von f, (x) in sich enthält. 



Die Ordnung der Gruppe / ist ein Divisor der Ordnung der 

 Gruppe (5). Es möge nämlich H die allgemeinste intransitive Unter- 

 gruppe von (5) sein, welche die Wurzeln von f\(x) ausschliesslich unter 

 sich vertauscht. Dann besteht / aus den Substitutionen, welche wir 

 aus den Substitutionen in H auf die Weise bilden, dass wir nur die 

 Cykeln, welche die Wurzeln von f^Çx) vertauschen, beibehalten, und 

 es gilt der Satz, dass die Ordnung von / ein Divisor der Ordnung 

 von H ist *). Die Ordnung von H ist aber ein Divisor der Ordnung 

 von (5). Also ist auch die Ordnung von / ein Divisor der Ordnung 

 von (5). 



13. Wenn q> 1 ist, ist die Ordnungszahl m der Gruppe, welche 

 den Gruppen 



(6) T-'GTr,, T-'GTr,, . . . Tr;_,GT.^_, 



gemeinsam ist, in n — 1 als Divisor enthalten. Wir haben nämlich zu- 

 erst, dass die Gruppen T^^GT, und TI'^GT,. keine Cirkularsubstitution 

 ?iî£î Ordnung gemeinsam haben können. Sonst würden nämlich auch 

 die von diesen Gruppen durch T^ transformirten Gruppen G und 

 T, T~^GT. rr' eine solche gemeinsam haben. Dann wäre T, TT mit 

 der Gruppe der Cirkularsubstitutionen n^ Ordnung in G permutabel, 

 was unmöglich ist, weil T^ T~ nicht linear ist. Aus der Thatsache 

 aber, dass die den Gruppen (6) gemeinsame Gruppe keine Cirkular- 

 substitution der Primzahlordnung n enthält, folgt, wie Cauchy es ge- 

 zeigt hat ^), dass die Ordnungszahl m der Gruppe den Faktor n nicht 



1) Siehe Netto's Substitutionentheorie etc., pag. 102. 



2) In den Exercises d'analyse et de physique mathématique, pag. 250. 



