18 J. T. Söderberg, 



verschiedene Formen an und wird also durch Auflösung einer Gleichung- 

 vom Grade (n — 2)\ — q bekannt. Wenn aber x bekannt ist, ist die 

 Gleichung (1) durch Wurzelgrössen auflösbar. Dies ist also der Fall, 

 wenn (n _ 2)! — (j < 5 ist, d. h. wenn q > (?z _ 2) ! — 5 ist, wozu die alte- 

 Bedingung q < {n — 2)1 hinzukommt. 



Wir haben also folgenden Satz: 



Wenn die Resolventengleichung <P{j) — q unter sich gleiche ratio- 

 nale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind^ und die 

 Wurzeln der ursprünglichen Gleichung alle verschieden sind, so ist die ur- 

 sprüngliche Gleichung durch Wurzelgrössen auflösbar: 



1) ioe?i7i p < 5 i<t ; 



2) icenn (n — 2)! - 5 < {>< (n _ 2)! ist. 



16. Wir wollen nun speciell die Beschaffenheit der Gleichungen 

 fünften Grades untersuchen, bei denen die oben definirte Resolventen- 

 gleichung ^{y) gleiche rationale Wurzeln hat. 



Es sei also 



(7) /(.r) = 



eine Gleichung fünften Grades mit den Wurzeln .v^ , .z\ , x^ , a-^ , a,\ .. 

 Wenn wir | i , e{i) | anstatt ( "^* ) schreiben, erhalten wir für die Substi- 



\ •''Vy(0 / 



tutionen der linearen Gruppe G von x^ , a\ , j.\ , x^ , x^ den Ausdruck: 



I- ■,/''1 fa = l,2,3,i ) . .\ 



\i, ai + lj\, l^^y^' j^ 2^ 3^ ^jmod. 5j. 



Die Substitutionen von .Vq , ,r, , . . . ,r^ können sämmtlich in die 

 Formen 



I ^■ , ai-\- ß \ oder \ i ^ a{i ^ ß)^ -{. y \ {y zbO , 1 , 2 , 3 , i ; mod. 5> 

 gesetzt werden *). Sie können dann auch in die Formen 



I f , ai -\- ß \ oder | f , (ai -\- ßy -^ y \ 

 gesetzt werden. Wenn wir also die Substitution 



I «,«■' + ;'- 1 1 



1) Siehe Jordan, Traité des substitutions etc., pag. 90. 



