22 



J. T. Söderberg, 



ersten Grade und hat im ersten Falle die Wurzel .r,._i , im zweiten die 

 Wurzel ^3r+3,_i. Die zweite Gleichung ist vom vierten Grade und ist in 

 beiden Fällen ohne Kubikwurzeln auflösbar. 



B. Es mögen einige der Wurzeln Xg , x^ ^ . . . Xi einander gleich 

 sein und die Funktionen (10) aus (p und cp, bestehen. 



Wir bezeichnen zwei einander gleiche Wurzeln durch x^ und x. 

 und werden zuerst untersuchen, wie t und 6 von r abhängen. Es wird 

 sich dabei zeigen, dass av und x^ von den übrigen Wurzeln verschie- 

 den sind. 



Durch die Transposition (r^., x^) kann die Funktion cp ihren nu- 

 merischen Wert nicht ändern. Da von den Funktionen (9) nur cp^ der 

 Funktion <p numerisch gleich ist, muss cp durch die Transposition (j"^, x ) 

 in (pr übergehen oder formal ungeändert bleiben. Das letztere kann nicht 

 eintreten, weil G keine Transposition enthält. Also haben wir, wenn wir 

 (x^ , x) kurz mit (r , ö) bezeichnen, (/'^^,) = <p^ , was 



(16) 



(r, = -ST. 



giebt, wo -2" der Gruppe G zugehört. 



Wir werden nun den analytischen Ausdruck für (t, e) aufsuchen. 

 Wir haben: 



h', iM = (2, 3). 



Die Substitution | i , (t — ö) i — 2 (x + 6i) | ersetzt 2 durch e und 3 durch 

 T. Also wird: 



(t , ö) = h' , (t — ö)i - 2 (t + ö) 1-' . Î / , î' I . I ^■ , (t — ö)^■— 2(t -f- ö) 1 , d. h. 



(17) 



(t, ö) 



î + 2(t + o) 



J-s'j+D+i 



(r _ er 



(16) und (17) geben 3(t + ö) -)- 1 = ?■ , d. h. 



(18) T + öH5 2(r — 1). 



Wenn r gegeben ist, giebt (18) nur einen Wert für ö. Also 

 kann neben x^ keine andere Wurzel a:^ der Gleichung (7) gleich x^ sein. 

 xr und X. sind also von den übrigen Wurzeln von /(a) verschieden. 



