Einige Untersuchungen in der Algebra. 25 



■ 1, (r, 2r-ö)(e, Sr + S«), (r , 3r + 3ö)(ö, 2 r - ö) , 



(r, ö)(2r-ö, 3r+3ö), (r , ö) , (2t- 6, 3r + 3ö), 



(r, 2t— 6, ö, 3r + 36), (r, 3r4.3ö, e, 2t — e) . 



Weun wir die Substitutionen ausnehmen, welche die Wurzeln der Glei- 

 chung (24) ausschliesslich unter sich vertauschen und in diesen Sub- 

 stitutionen nur die Cykeln berücksichtigen, welche die genannten Wur- 

 zeln enthalten, so ergiebt sich die Gruppe der Substitutionen 



1 , (2t _ö, 3t -|-3ö). 



In dieser muss gemäss n:o 12 die Gruppe der Gleichung (24) enthal- 

 ten sein. 



Zufolge (23) ist 3)- + 3.«—! von t und ß verschieden. Also ist 

 Xir+3,-\ eiiie Wurzel der Gleichung (24). Diese Wurzel ist rational, weil 

 sie durch die Gruppe (15) nicht umgesetzt wird. 



18. Wir betrachten nun den Fall p = 3 . 



Wir suchen zuerst die Substitutionen der Gruppen (11) auf. Die 

 Substitutionenkoraplexe in den Schemata, durch welche diese Grup^jen 

 zu definiren sind, setzen wir zu dem Zwecke in die Formen ^ und 

 -2!r*. Der Kürze halber bezeichnen wir wie vorher mit H^ die Gruppe 

 der Substitutionen 1 , | z, — i -{- r -\- s — 2 | . Wir erhalten: 



(25) 



(((? , T, , Z)) = Die Substitutionen in 



Wenn ?■ , s , t alle verschieden sind bezüglich des Modul 5, muss 

 eine der Kongruenzen 



2r = s-\-t, 2s = t -{-7- ^ 2 f = r + 5 (mod. 5) 



richtig sein. Wenn nämlich ;■ , .s , ^ , ?< , v nach dem Modul 5 inkon- 

 gruente ganze Zahlen sind, so muss die Kongruenz 



2x = u -j- V (mod. 5) 



durch r , ^s oder t erfüllt werden. Je nachdem sie durch r , s oder t er- 

 füllt ist, gilt die erste, zweite oder dritte der fraglichen Kongruenzen. 



Nova Acta Reg. Soo. Sc. Ups. Ser. III. 4 



