Einige Untersuchungen in der Algebra. 27 



Die erste dieser Gleichungen kann nicht identisch gelten, weil die 

 erste der Gleichungen (27) als identisch angenommen ist; die zweite 

 ist wegen der Identität (28) nicht identisch. Wenn wir von der 

 zweiten der Gleichungen (27) als identisch geltend ausgehen, gelangen 

 wir in einen ähnlichen Widerspruch. Also war die Annahme x\ — x^ 

 unstatthaft, und die Wurzeln der Gleichung (7) sind alle von einander 

 verschieden. Wir haben hier angenommen, dass die Funktionen (10) 

 aus mp ^ (fr , (f, bestehen. Unsere Behauptung kann aber auf ähnliche 

 Weise bewiesen werden, wenn die Funktionen (10) aus y^ , y, , ^^ be- 

 stehen. 



Die Gruppe der Gleichung (7) ist in der Gruppe (25) oder (26) 

 enhalten, je nachdem die Funktionen (10) aus y , ^^ , tp, oder aus y^ , 

 <p, , (ft bestehen. Die Gleichung zerfällt in zwei Gleichungen mit ratio- 

 nalen Koefficienten, was schon aus n:o 14- hervorgeht wegen 1 < p < n ; 

 die eine ist 2—, die andere 3— Grades. 



19- Wir kommen weiter zum Falle p = 4. 



Um die Substitutionen der ersten der Gruppen (11) in einfacherer 

 Weise ausdrücken zu können, setzen wir wie vorher 2s = r-\-t (mod. 5). 

 Die Substitutionenkomplexe im Schema, welches zur Definition der Gruppe 

 dient, bringen wir mittelst der Formeln (12) und (13) in die Formen 2 

 oder ^T,,. Dann ergiebt sich: 



((Ö, j;, T,, r,)) = Die Substitutionen in 



(29) H\, H\.\i,2{r-ty{i+^r+^t+\)\.T,,^,t, H\.\i,-{r-t)\i-r+V)\.Tr, 



H\.\i, -[r-t)\i-t + l)\.Z. 



Dieses Resultat geht auch aus (15) hervor mittelst der Identität 



welche aus n:o 6 folgert. 



Wir suchen weiter die Substitutionen der zweiten Gruppe (11) auf. 

 In dem wir n:o 6 anwenden und die Gruppe der Substitutionen 



I { , a{i -\- r -[. s -{. t -\- u -{. l) — [r -\- s -\- t J^ u -\- l) \ (a = 1, 2, 3, 4) 

 mit H\ bezeichnen, erhalten wir: 



