28 J. T. Söderberg, 



(( T, GT^, T^ T, , T, T, , T^ T^)) = {( G , r_(,+,+,+„) )) 



(30) 



Die Gruppen (29) und (30) enthalten beide 8 Substitutionen. Die 

 erste lässt ^,_, , die zweite x^i^r+s+t+u) unverändert. 



Bei den weiteren Untersuchungen des Falles p = 4 haben wir drei 

 untergeordnete Fälle A, B, C, jeden für sich zu betrachten. 



A. Die Wurzeln Xq , j^i , • • • x^ sind sämmtlich unter sich ver- 

 schieden. 



Die Gruppe der Gleichung (7) ist in der Gruppe (29) oder (30) 

 enthalten, je nachdem die Funktionen (10) aus yi , 9,., <f,, ^, bestehen 

 oder aus (p^, y^ , y), , y„. Die Gleichung zerfällt in beiden Fällen in zwei 

 Gleichungen mit rationalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 hervor- 

 geht wegen 1 < q < n. Die eine ist vom 1— Grade und hat die Wurzel 

 Xs-i im ersten Falle, x_(r+j+(+„+i) im zweiten; die andere ist vom 4— Grade 

 und ohne Kubikwurzeln auflösbar. 



B. Es mögen einige der Wurzeln der Gleichung (7) unter sich 

 gleich sein, und die Funktionen (10) aus y, tf^, y, , y, bestehen. 



Wir bezeichnen mit x^ und x zwei einander gleiche Wurzeln der 

 Gleichung (7). Wir nehmen au, die Bezeichungen ?', s, t seien so ge- 

 wählt, dass 2s = r-\-t (mod. 5) ist. Dann untersuchen wir, wie t und ö 

 von r, s, t abhängen, wobei sich auch zeigen wird, dass x^ und x^ von 

 den übrigen Wurzeln verschieden sind. 



Die Funktionen (9) bestehen neben den Funktionen (10) aus ysr-t 

 imd <fj2t-r'> welche also von den Funktionen (10) numerisch verschieden 

 sind. Da weiter ^2r-« bei der Substitution (x , ö) numerisch unverändert 

 bleibt, formal aber verändert wird, muss 



sein, so dass 



(31) T,._,(t , ö) = 2T,,_, 



wird. Diese Gleichung ergiebt sich aus (21), wenn 2r — t und 2 t — r für 

 r und s gesetzt wird. Wie die Formeln (23) aus (21) hervorgehen, kom- 

 men also aus (31): 



\ T=2r-t—l, \ T = 2t — r — l, 



(32) oder 



\ e = t — l , lö = r— 1. 



