Einige Untersuchungen in der Algebra. 29 



Dass a-_ und x von den übrigen Wurzeln verschieden sind, fol- 

 gert sich daraus, dass die Formeln (32) für e nur einen Wert geben, 

 wenn r gegeben ist. 



Wir nehmen nun an, dass die Wurzeln der Gleichung 



(33) -l^ = 



(x — x^){x — xj 



alle verschieden sind. Nach n:o 14 wissen wir, dass (33) reduktibel ist, 

 weil [(n — 2) ! — (>]! nicht durch n — 2 theilbar ist und q < (?i— 2)! — 1 

 ist. Wir werden aber auch die Gruppe / aufsuchen, in welcher gemäss 

 n:o ll2 die Gruppe der Gleichung (33) enthalten ist. Die Gruppe (29) 

 besteht aus den Substitutionen : 



1, (t, 2z-ö)(ö, 3r + 3ö), (r, ö)(2t_ö, Sx + Se), 



(t, 3T + 3ö:(e, 27: _ö), (t, ö), (2t _ö, 3t + 3ö), 



(t, 2r_ö,"Ö, 37: + 36i), (r , 3t-|-3ö, ö, 2t — ö). 



Da wir die Substitutionen ausnehmen, welche die Wurzeln der Glei- 

 chung (33) ausschliesslich unter sich vertauschen, und in diesen Sub- 

 stitutionen nur die Cykeln beibehalten, welche diese Wurzeln vertau- 

 schen, so ergiebt sich 



1, (2t_ö, 3t + 3ö) . 



Dies ist die gesuchte Gruppe /. 



Zufolge (32) ist s — 1 von t und ö verschieden, x^^i ist also 

 eine der W^urzeln der Gleichung (33). Weil x,^i durch (29) nicht um- 

 gesetzt wird, ist diese Wurzel rational. 



C. Es mögen einige der Wurzeln der Gleichung (7) unter sich 

 gleich sein, und die Funktionen (10) aus y^ , ^, , y, , y„ bestehen. 



Wir bezeichnen wie vorher mit Xj. und x zwei einander gleiche 

 Wurzeln der Gleichung (7), und haben zuerst die Relation zwischen t, 

 6 und r , s , t , u aufzusuchen. 



Die Funktionen (9) bestehen aus den Funktionen (10) und aus y 

 und 9)_(r+j+(+„). Aus der Thatsache, dass y bei der Transposition (t, e) 

 formal verändert wird, numerisch unverändert bleibt und dass cp und 



