Ueber die Differentialgleichung dee elliptischen Funktion etc. 5 

 Die gesuchte Differentialgleichung wird also 



(7) tFXv:f + (sF-^-ßF+s^)r¥y'-^,[sF^-ßF+s,J = 



_ (RF^ + SEF' + 3E,F-\- R,f 



welche Gleichung nach gehöriger Entwickelung die folgende Form an- 

 nimmt 



(8) tF{uy + [sF'' -ßF+ s,']F'(ii) J^a^F' ^yF^Jr ^ F* + xF' + 



+ â,F'^ + y,FJ^a,=.0 , 

 wobei man findet: 



«0 = 1, 4/?s- - 'dyt' = 2RE , 4/?s? _ 'èyj' = ^R^E^ , _ 4.s\ - «^27*^ = R\ 



BE' + 2RE, +9iM+45[/?^ + .ss,]=0, SE; +2R^E+9e'â^ +4:s,[ß'+ss^'] = 



2aßss, + aß' - 21 xt' = 2[RR, + % EE,] . 



Durch eine einfache Transformation kann man es immer so ein- 

 richten, dass «1=1 wird, folglich 



R' = - [is' + 27 f] , Rl = - [4 sl + 27t'] . 



Diese beiden Gleichungen geben die Werthe von R und R^; ferner 

 erhält man die Werthe von E und E^ aus den Gleichungen 



ißs' -9yt' = 2RE , ißs] - 9y,t' = 2R,E, . 



Sind dann die Bedingungen: 



3E'-\- 2RE, + 9t'â + 4:s[ß' + s.sj = , SEl + 2R^E-\.9t'a^+4s,[ß' + ss,'] = 



24:ßss, + iß' — 2iex = 2[RR, + <èEE,-\ 



erfüllt, so wird die Gleichung 



(9) ty^ + [«^-^ - ßx + 'hW + '^' + /'^^' + f^«' + '«^' + <^i «' + /i^- -f- 1 = O 



von einer doppeltperiodischen Funktion dritter Ordnung mit einfachen 

 Unendlichkeitsstellen (a-) und deren Abgeleiteten (y) befriedigt. 



