Ueber die Differentialgleichung der elliptischen Funktion etc. 7 

 und 



Folglich hat die Kurve singulare Punkte entweder wenn 



y = , x' + yx'' + dx^ + xx^ + d,x' J^y.x-^-l = Qx" + byx' + 4:â x^ -j- 



J^Bxx' + ^^i^ + ïi = O 5 

 oder wenn 



Zty + 2[sx^ — ßx + .s,] = , Rx^ + 3^a;= + 3 ß^o; + i?, = 



ist. 



Im ersten Falle hat die Gleichung 



x^ + yx^ + J^^ + ;f^^ + (Ji^^ -^ ;/,a; + 1 = 



einen quadratischen Faktor {x — df. Setzen wir dann 



1 ri 



so erhalten wir eine Gleichung von der Form 



Diese Form der Gleichung zeigt unmittelbar, dass ^, als doppelt- 

 periodische Funktion betrachtet, keine einfache ünendlichkeitsstelle haben 

 kann. Man sieht nämlich, dass einem jeden Werthe von r] nur vier 

 Werthe von § entsprechen ; folglich ist rj eine doppeltperiodische Funk- 

 tion vierter Ordnung und | eine solche dritter Ordnung. Dies ist nur 

 möglich, wenn ^ eine dreifache Unendlichkeitsstelle, also x einen drei- 

 fachen Niveaupunkt besitzt, — ein Fall, mit welchem wir uns erst später 

 beschäftigen werden. 



Hat also die Funktion x = F{u) keinen dreifachen Niveaupunkt, 

 so erhält man die singulären Punkte der Kurve mittelst der Gleichungen 



8ty + 2 [sx' -ßx + s,] = , Rx' + 3Ex' + 3E,x + E, == . 



Umgekehrt sind die durch diese Gleichungen bestimmten Punkte 

 sämmtlich singular. 



